Calculez $e⁻¹$ sans calculatrice.

$e≈2,718$, donc $e⁻¹≈0,368$ et $20 000×0,368≈7 360$.

Question de mathsMathsDérivation et optimisation

Quel prix fixer pour obtenir la plus grande recette ?

Q: Pourquoi le modèle exponentiel est-il plus réaliste que le modèle linéaire ?

Le modèle linéaire prévoit des ventes négatives au-delà de 50 €, ce qui est absurde. L'exponentiel reste positif et traduit une baisse proportionnelle.

Q: Et si chaque unité coûte 5 € à produire ?

Le bénéfice vaut $B(p)=1 000(p-5)e^(-0,05p)$, de dérivée $1 000e^(-0,05p)(1-0,05(p-5))$, nulle pour $p=25$ € : le coût augmente le prix optimal.

Q: Qu'est-ce que l'élasticité-prix de la demande ?

Le rapport entre la variation relative de la quantité et celle du prix ; elle vaut $(p q'(p))/q(p)=-0,05p$ ici, soit $-1$ au prix optimal.

Q: Comment estimer la fonction de demande en pratique ?

En testant plusieurs prix et en mesurant les ventes, puis en ajustant un modèle, par exemple un ajustement affine de ln q en fonction de p pour le modèle exponentiel.

Si la quantité vendue baisse quand le prix monte, la recette p × q(p) atteint un maximum : avec q(p) = 1 000 e^{−0,05p}, le prix optimal est 20 € et la recette maximale 20 000/e ≈ 7 358 €.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En aidant à tenir le stand d'une association, on s'est demandé s'il fallait vendre les gâteaux 2 € ou 3 € : plus cher, on gagne plus par gâteau mais on en vend moins. J'ai voulu modéliser ce dilemme avec une fonction et le résoudre par la dérivation.

L'enjeu et les notions du programme

Construire une fonction recette à partir d'une hypothèse sur la demande, et trouver son maximum par la dérivation d'un produit avec l'exponentielle.

Mathématiques

Dérivée d'un produit et de exp(u) (première et terminale)
Signe de la dérivée et extremum (première)
Fonction exponentielle, valeurs de e (première)
Modélisation d'une situation par une fonction (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : un compromis
1,5 min
Augmenter le prix augmente la recette par unité mais fait baisser les ventes. Problématique : existe-t-il un prix qui rend la recette maximale, et comment le trouver ?
2. Un modèle linéaire, puis exponentiel
3 min
Premier modèle : $q (p) = 1000 - 20 p$ q(p)=1 000-20p. La recette $R (p) = p (1000 - 20 p)$ R(p)=p(1 000-20p) est un trinôme, maximal au sommet $p = 25$ p=25 €, avec $R = 12500$ R=12 500 €.
Deuxième modèle, plus réaliste pour une baisse progressive : $q (p) = 1000 e^{- 0, 05 p}$ q(p)=1 000e^(-0,05p). Chaque euro d'augmentation fait perdre environ 5 % des ventes, quel que soit le prix. La recette vaut $R (p) = 1000 p e^{- 0, 05 p}$ R(p)=1 000 p e^(-0,05p).
3. Maximiser la recette
4 min
$R^{'} (p) = 1000 (e^{- 0, 05 p} - 0, 05 p e^{- 0, 05 p}) = 1000 e^{- 0, 05 p} (1 - 0, 05 p)$ R'(p)=1 000(e^(-0,05p)-0,05p e^(-0,05p))=1 000 e^(-0,05p)(1-0,05p).
Comme l'exponentielle est strictement positive, $R^{'}$ R' a le signe de $1 - 0, 05 p$ 1-0,05p : positif pour $p < 20$ p<20, négatif ensuite. Le prix optimal est 20 €, pour une recette $R (20) = 20000 e^{- 1} \approx 7358$ R(20)=20 000 e⁻¹≈7 358 €.
Interprétation : au prix optimal, une hausse de 1 % du prix fait baisser les ventes d'environ 1 % ; avant, la hausse rapporte, après, elle coûte. C'est la notion d'élasticité-prix, étudiée en économie.
4. Conclusion
1,5 min
Oui, il existe un prix qui maximise la recette, et la dérivation le donne : 20 € dans le modèle exponentiel. Le résultat dépend entièrement de l'hypothèse sur la demande ; en pratique, on estime cette fonction à partir de données. J'ouvre sur la différence entre recette maximale et bénéfice maximal, qui tient compte des coûts.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

R (p) = 1000 p e^{- 0, 05 p} R(p)=1 000 p e^(-0,05p) R^{'} (p) = 1000 e^{- 0, 05 p} (1 - 0, 05 p) \Rightarrow R^{'} (p) > 0 ⟺ p < 20 R'(p)=1 000 e^(-0,05p) (1-0,05p) \Rightarrow R'(p)>0\Leftrightarrow p<20 R_{m a x} = R (20) = \frac{20 000}{e} \approx 7358 euros R_max=R(20)=(20 000)/e\approx7 358 euros

Conclusion : la réponse à la question

La recette, produit du prix et de la quantité vendue, admet un maximum quand la demande baisse avec le prix. La dérivation d'un produit faisant intervenir l'exponentielle donne ici un prix optimal de 20 €, à condition que le modèle de demande soit pertinent.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez

e^{- 1}

e⁻¹ sans calculatrice.

$e \approx 2, 718$ e≈2,718, donc $e^{- 1} \approx 0, 368$ e⁻¹≈0,368 et $20000 \times 0, 368 \approx 7360$ 20 000×0,368≈7 360.

Pourquoi le modèle exponentiel est-il plus réaliste que le modèle linéaire ?

Le modèle linéaire prévoit des ventes négatives au-delà de 50 €, ce qui est absurde. L'exponentiel reste positif et traduit une baisse proportionnelle.

Et si chaque unité coûte 5 € à produire ?

Le bénéfice vaut $B (p) = 1000 (p - 5) e^{- 0, 05 p}$ B(p)=1 000(p-5)e^(-0,05p), de dérivée $1000 e^{- 0, 05 p} (1 - 0, 05 (p - 5))$ 1 000e^(-0,05p)(1-0,05(p-5)), nulle pour $p = 25$ p=25 € : le coût augmente le prix optimal.

Qu'est-ce que l'élasticité-prix de la demande ?

Le rapport entre la variation relative de la quantité et celle du prix ; elle vaut $\frac{p q ^{'} ( p )}{q ( p )} = - 0, 05 p$ (p q'(p))/q(p)=-0,05p ici, soit $- 1$ -1 au prix optimal.

Comment estimer la fonction de demande en pratique ?

En testant plusieurs prix et en mesurant les ventes, puis en ajustant un modèle, par exemple un ajustement affine de ln q en fonction de p pour le modèle exponentiel.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier que e^{−0,05p} > 0 pour conclure sur le signe de la dérivée.
Confondre recette et bénéfice.
Présenter le modèle de demande comme une donnée certaine.

Revoir les notions

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