Pourquoi $1-(1-p)ⁿ≤ np$ ?

On peut le montrer par récurrence (inégalité de Bernoulli $(1-p)ⁿ≥1-np$) ; c'est aussi la convexité de $x↦(1-x)ⁿ$ sur $[0,1]$, dont la courbe est au-dessus de sa tangente en 0.

Calculez $(5/6)⁴$ à la main.

$5⁴=625$, $6⁴=1 296$ ; $625/(1 296)≈0,482$.

Question de mathsMathsHasard et probabilités

Pourquoi le chevalier de Méré perdait-il au jeu du double six ?

Q: Quelle loi suit le nombre de double six en 24 lancers ?

La loi binomiale $mathcal B(24,1/36)$, d'espérance $2/3$. $P₂=P(X≥1)=1-P(X=0)$.

Q: Comment Pascal a-t-il pu calculer sans calculatrice ?

Par des raisonnements de dénombrement : il y a $36²⁴$ issues équiprobables et $35²⁴$ sans double six ; il comparait ces nombres par des calculs de logarithmes et des encadrements.

Obtenir au moins un six en 4 lancers a une probabilité de 0,518, mais au moins un double six en 24 lancers de deux dés seulement 0,491 : la règle de proportionnalité intuitive de Méré était fausse, comme l'a montré Pascal en 1654.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai découvert que les probabilités sont nées d'une question de joueur posée à Pascal au XVIIᵉ siècle. Le chevalier de Méré gagnait en pariant sur un six en quatre lancers, mais perdait en pariant sur un double six en vingt-quatre lancers, alors que son raisonnement les rendait équivalents. J'ai voulu refaire le calcul de Pascal avec les outils de terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une répétition d'épreuves indépendantes, calculer la probabilité de « au moins un succès » par l'événement contraire, et corriger un raisonnement proportionnel erroné.

Mathématiques

Répétition d'épreuves indépendantes, loi binomiale (terminale)
Probabilité de l'événement contraire (seconde)
Logarithme : résolution de $q^{n} \leq A$ qⁿ≤ A (terminale)
Espérance d'une loi binomiale (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : le raisonnement de Méré
1,5 min
Méré raisonnait ainsi : la probabilité d'un six est $\frac{1}{6}$ 1/6, il faut 4 lancers ; celle d'un double six est $\frac{1}{36}$ 1/36, six fois plus petite, il faut donc 6 fois plus de lancers, soit 24. Problématique : pourquoi le second pari était-il perdant ?
2. Calcul exact par l'événement contraire
3,5 min
Les lancers sont indépendants. « Au moins un six en 4 lancers » a pour contraire « aucun six », de probabilité $(\frac{5}{6})^{4}$ (5/6)⁴. Donc $P_{1} = 1 - (\frac{5}{6})^{4} = 1 - \frac{625}{1 296} \approx 0, 518 > \frac{1}{2}$ P₁=1-(5/6)⁴=1-625/(1 296)≈0,518>1/2.
« Au moins un double six en 24 lancers » : $P_{2} = 1 - (\frac{35}{36})^{24} \approx 0, 491 < \frac{1}{2}$ P₂=1-(35/36)²⁴≈0,491<1/2. Le premier pari est favorable, le second défavorable, de peu.
3. Où se trompe la proportionnalité
3,5 min
Méré raisonne sur les espérances : en 4 lancers, on attend $4 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$ 4×1/6=2/3 six ; en 24 lancers, $24 \times \frac{1}{36} = \frac{2}{3}$ 24×1/36=2/3 double six. Les espérances sont égales, mais pas les probabilités d'au moins un succès, car on peut obtenir plusieurs succès dans une même série.
Combien de lancers faut-il pour que le pari du double six devienne favorable ? On veut $(\frac{35}{36})^{n} < \frac{1}{2}$ (35/36)ⁿ<1/2, soit $n > \frac{l n 2}{l n 36 - l n 35} \approx 24, 6$ n>ln2/(ln36-ln35)≈24,6. Il fallait donc parier sur 25 lancers.
4. Conclusion
1,5 min
Méré perdait parce que la probabilité d'« au moins un succès » n'est pas proportionnelle au nombre d'essais : elle vaut $1 - (1 - p)^{n}$ 1-(1-p)ⁿ, qui croît moins vite que $n p$ np. Ce problème, résolu par Pascal et Fermat en 1654, marque la naissance du calcul des probabilités. J'ouvre sur l'approximation $1 - (1 - p)^{n} \approx n p$ 1-(1-p)ⁿ≈ np valable seulement quand $n p$ np est petit.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P_{1} = 1 - (\frac{5}{6})^{4} = 1 - \frac{625}{1 296} \approx 0, 518 P_{2} = 1 - (\frac{35}{36})^{24} \approx 0, 491 P₁=1-(5/6)⁴=1-625/(1 296)\approx0,518 P₂=1-(35/36)²⁴\approx0,491 (\frac{35}{36})^{n} < \frac{1}{2} ⟺ n > \frac{ln 2}{ln 36 - ln 35} \approx 24, 6 (35/36)ⁿ<1/2\Leftrightarrow n>(ln 2)/(ln 36-ln 35)\approx24,6

Conclusion : la réponse à la question

Le pari du double six en 24 lancers était légèrement défavorable (0,491), contrairement à celui du six en 4 lancers (0,518). La règle proportionnelle de Méré confond espérance et probabilité d'au moins un succès ; l'événement contraire et l'indépendance donnent le bon calcul.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Quelle loi suit le nombre de double six en 24 lancers ?

La loi binomiale $B (24, \frac{1}{36})$ mathcal B(24,1/36), d'espérance $\frac{2}{3}$ 2/3. $P_{2} = P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)$ P₂=P(X≥1)=1-P(X=0).

Pourquoi

1 - (1 - p)^{n} \leq n p

1-(1-p)ⁿ≤ np ?

On peut le montrer par récurrence (inégalité de Bernoulli $(1 - p)^{n} \geq 1 - n p$ (1-p)ⁿ≥1-np) ; c'est aussi la convexité de $x \mapsto (1 - x)^{n}$ x↦(1-x)ⁿ sur $[0, 1]$ [0,1], dont la courbe est au-dessus de sa tangente en 0.

Calculez

(\frac{5}{6})^{4}

(5/6)⁴ à la main.

$5^{4} = 625$ 5⁴=625, $6^{4} = 1296$ 6⁴=1 296 ; $\frac{625}{1 296} \approx 0, 482$ 625/(1 296)≈0,482.

Les lancers sont-ils vraiment indépendants ?

On le suppose pour des dés équilibrés lancés sans tricherie : le résultat d'un lancer n'influence pas les suivants. Les dés n'ont pas de mémoire.

Comment Pascal a-t-il pu calculer sans calculatrice ?

Par des raisonnements de dénombrement : il y a $3 6^{24}$ 36²⁴ issues équiprobables et $3 5^{24}$ 35²⁴ sans double six ; il comparait ces nombres par des calculs de logarithmes et des encadrements.

Les pièges qui coûtent des points

Additionner les probabilités des lancers (4 × 1/6 = 2/3) au lieu d'utiliser le contraire.
Oublier l'hypothèse d'indépendance des lancers.
Conclure que $P_{2} < \frac{1}{2}$ P₂<1/2 sans donner un ordre de grandeur de l'écart.

Revoir les notions

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