Question de mathsMathsHasard et probabilités

Répondre au hasard à un QCM peut-il rapporter des points ?

Q: Donnez la formule de $P(X=k)$.

$P(X=k)=binom20k(1/4)^(k)(3/4)^(20-k)$.

Q: Quelle est la variance de la note avec pénalité 1/3 ?

$N=4/3X-20/3$, donc $V(N)=16/9V(X)=16/9×3,75≈6,7$.

Q: Avec Bienaymé-Tchebychev, majorez P(X ≥ 10).

$P(X≥10)≤ P(|X-5|≥5)≤3,75/25=0,15$. La borne est vraie mais grossière (valeur exacte 0,014).

Sur un QCM de 20 questions à 4 choix, répondre au hasard donne en moyenne 5 bonnes réponses, et une chance sur 72 d'en avoir au moins 10. Avec une pénalité de 1/3 de point par erreur, l'espérance devient nulle : c'est le principe des barèmes négatifs.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Avant un concours blanc, un ami m'a conseillé de « cocher au hasard quand on ne sait pas ». D'autres disaient que c'était risqué à cause des points négatifs. J'ai voulu trancher avec la loi binomiale et l'espérance, et j'ai découvert que les barèmes sont justement construits pour neutraliser le hasard.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser par une loi binomiale, calculer espérance et probabilités, et concevoir un barème qui rend le hasard inutile.

Mathématiques

Loi binomiale : probabilités, espérance, variance (terminale)
Linéarité de l'espérance, transformation affine d'une variable (terminale)
Coefficients binomiaux (terminale)
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : faut-il cocher au hasard ?
1,5 min
Un QCM de 20 questions, 4 réponses proposées dont une seule juste. Un candidat qui ne sait rien répond au hasard. Problématique : combien de points peut-il espérer, avec ou sans pénalité ?
2. Le nombre de bonnes réponses
3,5 min
Chaque réponse est juste avec probabilité $\frac{1}{4}$ 1/4, indépendamment des autres. Le nombre $X$ X de bonnes réponses suit $B (20, \frac{1}{4})$ mathcal B(20,1/4) : $E (X) = 5$ E(X)=5, $V (X) = 20 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = 3, 75$ V(X)=20×1/4×3/4=3,75.
$P (X = 0) = (\frac{3}{4})^{20} \approx 0, 003$ P(X=0)=(3/4)²⁰≈0,003 ; $P (X \geq 10) \approx 0, 014$ P(X≥10)≈0,014, soit environ une chance sur 72. Le hasard donne donc en moyenne un quart des points, mais rarement la moyenne.
3. Construire un barème qui neutralise le hasard
3,5 min
Avec +1 par bonne réponse et $- a$ -a par erreur, la note vaut $N = X - a (20 - X) = (1 + a) X - 20 a$ N=X-a(20-X)=(1+a)X-20a. Par linéarité, $E (N) = 5 (1 + a) - 20 a = 5 - 15 a$ E(N)=5(1+a)-20a=5-15a.
L'espérance est nulle pour $a = \frac{1}{3}$ a=1/3 : répondre au hasard ne rapporte rien en moyenne. Mais dès qu'on peut éliminer une réponse fausse, la probabilité de succès passe à $\frac{1}{3}$ 1/3 et l'espérance par question devient $\frac{1}{3} - \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} > 0$ 1/3-2/3×1/3=1/9>0 : il vaut alors mieux répondre.
4. Conclusion
1,5 min
Sans pénalité, répondre au hasard rapporte en moyenne un quart des points ; avec une pénalité de $\frac{1}{3}$ 1/3, l'espérance est nulle, mais un candidat qui élimine une mauvaise réponse a intérêt à tenter sa chance. J'ouvre sur l'épreuve anticipée de maths, qui a abandonné le QCM au profit de questions à réponse courte.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

X \sim B (20, \frac{1}{4}), E (X) = 5, V (X) = 3, 75, P (X \geq 10) \approx 0, 014 X~mathcal B (20,1/4), E(X)=5, V(X)=3,75, P(X\geq10)\approx0,014 N = X - a (20 - X) \Rightarrow E (N) = 5 (1 + a) - 20 a = 5 - 15 a = 0 ⟺ a = \frac{1}{3} N=X-a(20-X) \Rightarrow E(N)=5(1+a)-20a=5-15a=0\Leftrightarrow a=1/3

Conclusion : la réponse à la question

Répondre au hasard rapporte en moyenne le quart des points sans pénalité, et rien avec une pénalité de $\frac{1}{3}$ 1/3 par erreur. La loi binomiale et la linéarité de l'espérance permettent à la fois de conseiller le candidat et de concevoir un barème juste.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Donnez la formule de

P (X = k)

P(X=k).

$P (X = k) = (k 20) (\frac{1}{4})^{k} (\frac{3}{4})^{20 - k}$ P(X=k)=binom20k(1/4)^(k)(3/4)^(20-k).

Pourquoi la pénalité est-elle 1/3 et pas 1/4 ?

Il y a 3 mauvaises réponses pour 1 bonne : l'espérance par question vaut $\frac{1}{4} \times 1 - \frac{3}{4} \times a$ 1/4×1-3/4× a, nulle pour $a = \frac{1}{3}$ a=1/3.

Quelle est la variance de la note avec pénalité 1/3 ?

$N = \frac{4}{3} X - \frac{20}{3}$ N=4/3X-20/3, donc $V (N) = \frac{16}{9} V (X) = \frac{16}{9} \times 3, 75 \approx 6, 7$ V(N)=16/9V(X)=16/9×3,75≈6,7.

Avec Bienaymé-Tchebychev, majorez P(X ≥ 10).

$P (X \geq 10) \leq P (∣ X - 5∣ \geq 5) \leq \frac{3 , 75}{25} = 0, 15$ P(X≥10)≤ P(|X-5|≥5)≤3,75/25=0,15. La borne est vraie mais grossière (valeur exacte 0,014).

Les réponses au hasard sont-elles indépendantes ?

Si le candidat tire vraiment au hasard pour chaque question, oui. En pratique, des réponses « au feeling » peuvent être corrélées.

Un candidat sûr de 12 réponses répond au hasard aux 8 autres, avec la pénalité de 1/3. Quelle note peut-il espérer ?

Les 12 réponses sûres rapportent 12 points ; sur les 8 autres, l'espérance vaut $8 \times (\frac{1}{4} - \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}) = 0$ 8×(1/4-3/4×1/3)=0. Il espère donc 12 points, avec un risque de perdre jusqu'à $\frac{8}{3}$ 8/3 points et une chance d'en gagner jusqu'à 8 : le hasard ajoute de la dispersion, pas de gain moyen.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre espérance (5 bonnes réponses en moyenne) et valeur certaine.
Oublier que la note avec pénalité est une transformation affine de X.
Conclure qu'il ne faut jamais répondre au hasard sans envisager l'élimination de réponses.

Revoir les notions

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