Pourquoi la « règle de 70 » donne-t-elle le temps de doublement d'une quantité ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un article économique affirmait qu'avec une croissance de 7 % par an, un pays double son PIB « en dix ans environ, d'après la règle de 70 ». Le calcul semblait magique. J'ai voulu le démontrer avec le logarithme et comprendre quand l'approximation est bonne.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre une équation dont l'inconnue est un exposant avec le logarithme, puis justifier une approximation par la tangente : un exemple d'approximation contrôlée.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction : une règle de calcul mental

   1,5 min

   J'énonce la règle : une quantité qui augmente de $r\%$r % par an double en environ $\frac{70}{r}$70/r années. Problématique : d'où vient cette règle, et est-elle fiable ?

2. 2. Le calcul exact avec le logarithme

   3,5 min

   Une quantité $Q_0$Q₀ qui augmente de $r\%$r % par an vaut $Q_0{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^n$Q₀(1+r/100)ⁿ après $n$n ans. Elle double quand ${\left(1+\frac{r}{100}\right)}^n=2$(1+r/100)ⁿ=2. On applique $\ln$ln : $n\ln \left(1+\frac{r}{100}\right)=\ln 2$nln(1+r/100)=ln2, donc $n=\frac{\ln 2}{\ln (1+r/100)}$n=ln2/(ln(1+r/100)).

   À 2 % : $n=\frac{\ln 2}{\ln 1,02}\approx 35,0$n=ln2/ln1,02≈35,0 ans ; à 7 % : $n\approx 10,2$n≈10,2 ans ; à 10 % : $n\approx 7,3$n≈7,3 ans.

3. 3. D'où vient le 70 : l'approximation par la tangente

   3,5 min

   La tangente à la courbe de $\ln (1+x)$ln(1+x) en 0 a pour équation $y=x$y=x. Pour $x$x petit, $\ln (1+x)\approx x$ln(1+x)≈ x. Avec $x=\frac{r}{100}$x=r/100 : $n\approx \frac{\ln 2}{r/100}=\frac{100\ln 2}{r}\approx \frac{69,3}{r}$n≈ln2/(r/100)=100ln2/r≈69,3/r, arrondi à $\frac{70}{r}$70/r.

   Précision : comme $\ln (1+x)$ln(1+x) est concave, sa courbe est sous sa tangente, $\ln (1+x)\le x$ln(1+x)≤ x ; la règle sous-estime donc légèrement le temps exact, d'autant plus que le taux est grand (10 au lieu de 10,2 à 7 % ; 7 au lieu de 7,3 à 10 %).

4. 4. Conclusion

   1,5 min

   La règle de 70 n'a rien de magique : c'est la solution exacte $\frac{\ln 2}{\ln (1+r/100)}$ln2/(ln(1+r/100)), simplifiée par l'approximation $\ln (1+x)\approx x$ln(1+x)≈ x et par $\ln 2\approx 0,69$ln2≈0,69. Elle est excellente pour les petits taux et devient grossière au-delà de 10 %. J'ouvre sur la décroissance : la demi-vie d'un produit radioactif se calcule de la même manière.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Utiliser la règle de 70 pour des taux élevés sans signaler l'erreur.
• Écrire $n=\frac{2}{1+r}$n=2/(1+r) : il faut le logarithme.
• Oublier que $n$n est un nombre d'années : on arrondit à l'entier supérieur pour un seuil atteint.

Revoir les notions

• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →
• Pourcentages et taux d'évolution (Première générale) →

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