Primitives en Première STI2D

Primitives en Première STI2D : cours complet

Primitives d'une fonction

Définition — Primitive. Soit $f$f une fonction définie sur un intervalle $I$I. Une primitive de $f$f sur $I$I est une fonction $F$F dérivable sur $I$I telle que $F^{\prime }=f$F' = f.

Exemple. $F(x)=x^3+2x$F(x) = x³ + 2x est une primitive de $f(x)=3x^2+2$f(x) = 3x² + 2 sur $\mathbb{R}$ℝ, car $F^{\prime }(x)=3x^2+2$F'(x) = 3x² + 2. Mais $G(x)=x^3+2x+7$G(x) = x³ + 2x + 7 en est une aussi.

Propriété — Toutes les primitives. Si $F$F est une primitive de $f$f sur un intervalle $I$I, les primitives de $f$f sur $I$I sont les fonctions $x\mapsto F(x)+C$x ↦ F(x) + C, où $C$C est une constante réelle. Pour une condition initiale donnée ($F(x_0)=y_0$F(x₀) = y₀), il en existe une seule.

Démonstration. Si $F$F et $G$G sont deux primitives de $f$f, alors $(G-F{)}^{\prime }=f-f=0$(G - F)' = f - f = 0 : la fonction $G-F$G - F a une dérivée nulle sur un intervalle, elle est constante.

Primitives usuelles

Propriété — Tableau des primitives.

Une primitive d'une somme est la somme des primitives, et une primitive de $kf$kf est $kF$kF.

Méthode — Vérifier une primitive. On dérive $F$F : on doit retrouver $f$f. C'est le moyen le plus sûr de contrôler un facteur $\frac{1}{n+1}$1/(n + 1) ou $\frac{1}{\omega }$1/ω.

Exemple — Polynôme et condition initiale. $f(x)=6x^2-4x+1$f(x) = 6x² - 4x + 1 : les primitives sont $F(x)=2x^3-2x^2+x+C$F(x) = 2x³ - 2x² + x + C. Si l'on impose $F(1)=3$F(1) = 3 : $2-2+1+C=3$2 - 2 + 1 + C = 3, donc $C=2$C = 2 et $F(x)=2x^3-2x^2+x+2$F(x) = 2x³ - 2x² + x + 2.

Exemple — Charge d'un condensateur. L'intensité est la dérivée de la charge : $q^{\prime }=i$q' = i. Si $i(t)=0,2\cos (100\pi t)$i(t) = 0,2cos(100π t) (en ampères) et $q(0)=0$q(0) = 0, alors $$q(t)=\frac{0,2}{100\pi }\sin (100\pi t)+C,q(0)=C=0,q(t)=\frac{0,002}{\pi }\sin (100\pi t)\text{ coulombs.}$$q(t) = 0,2/100πsin(100π t) + C, q(0) = C = 0, q(t) = 0,002/πsin(100π t) coulombs.

Équation $y^{\prime }=f(t)$y' = f(t) et mouvement

Propriété — Résoudre $y^{\prime }=f(t)$y' = f(t). Les solutions de l'équation $y^{\prime }=f(t)$y' = f(t) sont les primitives de $f$f ; la condition initiale $y(t_0)=y_0$y(t₀) = y₀ fixe la constante.

Exemple — Freinage. Un véhicule roulant à $20$20 m/s freine avec une décélération constante de $4$4 m/s${}^2$². Sa vitesse vérifie $v^{\prime }(t)=-4$v'(t) = -4 et $v(0)=20$v(0) = 20, donc $v(t)=-4t+20$v(t) = -4t + 20. Sa position, avec $x(0)=0$x(0) = 0, vérifie $x^{\prime }=v$x' = v, d'où $x(t)=-2t^2+20t$x(t) = -2t² + 20t. Il s'arrête quand $v(t)=0$v(t) = 0, soit à $t=5$t = 5 s, après $x(5)=-50+100=50$x(5) = -50 + 100 = 50 m.

Méthode d'Euler

Méthode — Principe. Quand on ne connaît pas de primitive, on construit point par point une approximation de la solution de $y^{\prime }=f(t)$y' = f(t), $y(t_0)=y_0$y(t₀) = y₀. On choisit un pas $h$h et l'on utilise l'approximation affine $y(t+h)\approx y(t)+h{y}^{\prime }(t)$y(t + h) ≈ y(t) + h y'(t) : $$t_{k+1}=t_k+h{y}_{k+1}=y_k+hf(t_k)$$tₖ₊₁ = tₖ + h yₖ₊₁ = yₖ + h f(tₖ) Plus le pas est petit, meilleure est l'approximation (et plus il y a de calculs).

Exemple — $y^{\prime }=t^2$y' = t², $y(0)=0$y(0) = 0, pas $h=0,5$h = 0,5.

Par exemple $y_3=y_2+0,5\times 1^2=0,125+0,5=0,625$y₃ = y₂ + 0,5 × 1² = 0,125 + 0,5 = 0,625. La solution exacte est $y=\frac{t^3}{3}$y = t³/3, qui vaut $\frac{8}{3}\approx 2,67$8/3 ≈ 2,67 en $t=2$t = 2 : avec ce pas, l'approximation est grossière.

La méthode d'Euler avance par segments de tangente ; l'erreur s'accumule à chaque pas.

Exemple — Algorithme.

def euler(f, t0, y0, h, n):
    t, y = t0, y0
    for k in range(n):
        y = y + h * f(t)
        t = t + h
    return y

def f(t):
    return t**2

print(euler(f, 0, 0, 0.1, 20))   # environ 2.47

Avec un pas de $0,1$0,1 ($20$20 pas), on obtient $2,47$2,47, plus proche de $\frac{8}{3}\approx 2,67$8/3 ≈ 2,67.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Oublier la constante $C$C, puis oublier de la déterminer avec la condition initiale.
• Oublier le facteur $\frac{1}{n+1}$1/(n + 1) : une primitive de $x^2$x² est $\frac{x^3}{3}$x³/3, pas $x^3$x³.
• Oublier le facteur $\frac{1}{\omega }$1/ω : une primitive de $\cos (\omega t)$cos(ω t) est $\frac{1}{\omega }\sin (\omega t)$1/ωsin(ω t).
• Se tromper de signe : une primitive de $\sin$sin est $-\cos$-cos.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Primitives

Déterminer une primitive de $f(x)=4x^3-6x+5$f(x) = 4x³ - 6x + 5 et de $g(t)=3\cos (2t)$g(t) = 3cos(2t).

Exercice 2 – Condition initiale

Déterminer la primitive $F$F de $f(x)=2x+3$f(x) = 2x + 3 telle que $F(0)=-1$F(0) = -1.

Exercice 3 – Signal

Déterminer la primitive de $u(t)=10\sin (50t)$u(t) = 10sin(50t) qui s'annule en $0$0.

Exercice 4 – Euler

On considère $y^{\prime }=2t$y' = 2t avec $y(0)=1$y(0) = 1. Avec un pas $h=0,5$h = 0,5, calculer les valeurs approchées de $y(0,5)$y(0,5) et $y(1)$y(1), puis comparer à la solution exacte $y=t^2+1$y = t² + 1.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $F(x)=x^4-3x^2+5x$F(x) = x⁴ - 3x² + 5x ; $G(t)=\frac{3}{2}\sin (2t)$G(t) = 3/2sin(2t). Contrôle : $G^{\prime }(t)=\frac{3}{2}\times 2\cos (2t)=3\cos (2t)$G'(t) = 3/2 × 2cos(2t) = 3cos(2t).

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $F(x)=x^2+3x+C$F(x) = x² + 3x + C et $F(0)=C=-1$F(0) = C = -1 : $F(x)=x^2+3x-1$F(x) = x² + 3x - 1.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $U(t)=-\frac{10}{50}\cos (50t)+C=-0,2\cos (50t)+C$U(t) = -10/50cos(50t) + C = -0,2cos(50t) + C. $U(0)=-0,2+C=0$U(0) = -0,2 + C = 0, donc $C=0,2$C = 0,2 : $U(t)=0,2-0,2\cos (50t)$U(t) = 0,2 - 0,2cos(50t).

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $y_1=1+0,5\times 0=1$y₁ = 1 + 0,5 × 0 = 1 ; $y_2=1+0,5\times 1=1,5$y₂ = 1 + 0,5 × 1 = 1,5. Valeurs exactes : $1,25$1,25 et $2$2.