Ce chapitre installe le langage des fonctions — $y = f (x)$ y=f(x), $x \mapsto f (x)$ x↦ f(x) — et étudie la famille la plus utile pour modéliser un coût, une trajectoire ou une aire : les fonctions polynômes du second degré.

Au programme : le taux de variation $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ (f(b)-f(a))/(b-a), interprété comme la pente de la sécante et relié au sens de variation ; l'allure de la parabole de $f (x) = a x^{2} + b x + c$ f(x)=ax²+bx+c, tournée vers le haut si $a > 0$ a>0 et vers le bas si $a < 0$ a<0, son axe de symétrie et son sommet, qui donne le maximum ou le minimum ; les racines et le signe d'un polynôme donné sous forme factorisée $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ a(x-x₁)(x-x₂).

Attention : le calcul des racines à l'aide du discriminant $Δ$ Δ n'est pas au programme de Première STI2D. On privilégie les racines évidentes, la factorisation à partir d'une racine connue et la lecture graphique de $f (x) = k$ f(x)=k ou $f (x) < k$ f(x)<k. Piège classique : chercher une formule là où l'énoncé attend une factorisation ou un tableau de signes.

Leçon complète

Fonctions et polynômes du second degré en Première STI2D : cours complet

Fonctions et taux de variation

Définition — Taux de variation. Le taux de variation d'une fonction $f$ f entre $a$ a et $b$ b ( $a \neq = b$ a ≠ b) est $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} (f(b) - f(a))/(b - a)$ C'est la pente (coefficient directeur) de la sécante passant par les points $A (a; f (a))$ A(a ;f(a)) et $B (b; f (b))$ B(b ;f(b)) de la courbe.

Propriété — Lien avec les variations. Si $f$ f est croissante sur un intervalle, tous ses taux de variation sur cet intervalle sont positifs ou nuls ; si elle est décroissante, ils sont négatifs ou nuls.

Exemple — Une vitesse moyenne. Un mobile parcourt $d (t) = 2 t^{2}$ d(t) = 2t² mètres en $t$ t secondes. Entre $t = 1$ t = 1 et $t = 3$ t = 3 : $\frac{d ( 3 ) - d ( 1 )}{3 - 1} = \frac{18 - 2}{2} = 8$ (d(3) - d(1))/(3 - 1) = (18 - 2)/2 = 8 m/s, la vitesse moyenne.

Fonctions polynômes du second degré

Définition — Fonction du second degré. Une fonction du second degré s'écrit $f (x) = a x^{2} + b x + c$ f(x) = ax² + bx + c avec $a \neq = 0$ a ≠ 0. Sa courbe est une parabole, tournée vers le haut si $a > 0$ a > 0, vers le bas si $a < 0$ a < 0.

Parabole de $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5$ f(x) = 2x² - 8x + 5 : axe de symétrie $x = 2$ x = 2, sommet $S (2; - 3)$ S(2 ;-3).

Propriété — Axe de symétrie et sommet. La parabole a un axe de symétrie vertical. Si deux points ont la même ordonnée, l'axe passe au milieu de leurs abscisses. Le sommet est sur l'axe : il donne le minimum de $f$ f si $a > 0$ a > 0, le maximum si $a < 0$ a < 0.

Méthode — Trouver l'axe en résolvant $f (x) = c$ f(x) = c. $f (x) = c ⟺ a x^{2} + b x = 0 ⟺ x (a x + b) = 0 ⟺ x = 0$ f(x) = c ⇔ ax² + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇔ x = 0 ou $x = - \frac{b}{a}$ x = -b/a. L'axe passe au milieu : $x = - \frac{b}{2 a}$ x = -b/2a.

Exemple. $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5$ f(x) = 2x² - 8x + 5 : $f (x) = 5 ⟺ 2 x^{2} - 8 x = 0 ⟺ 2 x (x - 4) = 0$ f(x) = 5 ⇔ 2x² - 8x = 0 ⇔ 2x(x - 4) = 0, d'où $x = 0$ x = 0 ou $x = 4$ x = 4. L'axe est $x = 2$ x = 2, et $f (2) = 8 - 16 + 5 = - 3$ f(2) = 8 - 16 + 5 = -3 : le minimum de $f$ f est $- 3$ -3.

Racines et signe

Propriété — Forme factorisée. Si $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), les racines sont $x_{1}$ x₁ et $x_{2}$ x₂ (produit nul), l'axe de symétrie est $x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ x = (x₁ + x₂)/2, et $f (x)$ f(x) a le signe de $a$ a à l'extérieur des racines, le signe contraire entre elles.

Exemple. $g (x) = - (x - 1) (x - 5)$ g(x) = -(x - 1)(x - 5) : racines $1$ 1 et $5$ 5, axe $x = 3$ x = 3, maximum $g (3) = - (2) (- 2) = 4$ g(3) = -(2)(-2) = 4. $a = - 1 < 0$ a = -1 < 0 : $g (x) < 0$ g(x) < 0 pour $x < 1$ x < 1 ou $x > 5$ x > 5, $g (x) > 0$ g(x) > 0 entre $1$ 1 et $5$ 5.

Méthode — Factoriser connaissant une racine. On vérifie que $x_{1}$ x₁ est racine ( $f (x_{1}) = 0$ f(x₁) = 0), puis on cherche $f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) en identifiant, ou à l'aide du produit des racines $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ x₁x₂ = c/a.

Exemple. $h (x) = 2 x^{2} - 2 x - 12$ h(x) = 2x² - 2x - 12 : $h (3) = 18 - 6 - 12 = 0$ h(3) = 18 - 6 - 12 = 0, donc $3$ 3 est racine. $x_{1} x_{2} = \frac{- 12}{2} = - 6$ x₁x₂ = (-12)/2 = -6, d'où $x_{2} = - 2$ x₂ = -2 : $h (x) = 2 (x - 3) (x + 2)$ h(x) = 2(x - 3)(x + 2). Contrôle en développant : $2 (x^{2} - x - 6) = 2 x^{2} - 2 x - 12$ 2(x² - x - 6) = 2x² - 2x - 12.

Résolution graphique et balayage

Méthode — Lire les solutions. Les solutions de $f (x) = k$ f(x) = k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite $y = k$ y = k ; celles de $f (x) < k$ f(x) < k, les abscisses des points de la courbe situés sous cette droite.

Exemple — Algorithme de balayage. On cherche une solution de $x^{2} + x - 3 = 0$ x² + x - 3 = 0 entre $1$ 1 et $2$ 2 ( $f (1) = - 1 < 0$ f(1) = -1 < 0 et $f (2) = 3 > 0$ f(2) = 3 > 0) :

def balayage(pas):
    x = 1
    while (x + pas)**2 + (x + pas) - 3 < 0:
        x = x + pas
    return x, x + pas

Avec pas = 0.01, on obtient l'encadrement $1, 30 < x < 1, 31$ 1,30 < x < 1,31.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

Inverser $Δ y$ Δ y et $Δ x$ Δ x dans le taux de variation.
Oublier le coefficient $a$ a dans la forme factorisée.
Se tromper de sens : $a < 0$ a < 0 donne une parabole tournée vers le bas (un maximum).
Chercher le discriminant : on utilise ici racines évidentes, factorisation et lecture graphique.

Fiche de synthèse

Taux de variation	$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ (f(b) - f(a))/(b - a) : pente de la sécante
Parabole	$a x^{2} + b x + c$ ax² + bx + c : vers le haut si $a > 0$ a > 0, vers le bas si $a < 0$ a < 0
Axe, sommet	$f (x) = c$ f(x) = c donne $x = 0$ x = 0 et $x = - \frac{b}{a}$ x = -b/a ; axe $x = - \frac{b}{2 a}$ x = -b/2a
Forme factorisée	$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ a(x - x₁)(x - x₂) : racines $x_{1}$ x₁, $x_{2}$ x₂ ; signe de $a$ a à l'extérieur
Graphique	$f (x) = k$ f(x) = k : intersections avec $y = k$ y = k

Exercices d'application

Exercice 1 – Taux de variation

Soit $f (x) = x^{2} - 4 x$ f(x) = x² - 4x. Calculer le taux de variation de $f$ f entre $1$ 1 et $4$ 4.

Exercice 2 – Sommet

Soit $g (x) = - x^{2} + 6 x - 5$ g(x) = -x² + 6x - 5. Résoudre $g (x) = - 5$ g(x) = -5, en déduire l'axe de symétrie, puis le maximum de $g$ g.

Exercice 3 – Signe

Étudier le signe de $h (x) = 3 (x + 1) (x - 4)$ h(x) = 3(x + 1)(x - 4).

Exercice 4 – Optimisation

L'aire d'un enclos est $A (x) = - 0, 5 x^{2} + 4 x$ A(x) = -0,5x² + 4x (en m $^{2}$ ²), pour $0 \leq x \leq 8$ 0 ≤ x ≤ 8. Pour quelle valeur de $x$ x est-elle maximale ?

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $f (1) = - 3$ f(1) = -3 et $f (4) = 0$ f(4) = 0 : $\frac{0 - ( - 3 )}{4 - 1} = 1$ (0 - (-3))/(4 - 1) = 1.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $- x^{2} + 6 x = 0 ⟺ x (- x + 6) = 0 ⟺ x = 0$ -x² + 6x = 0 ⇔ x(-x + 6) = 0 ⇔ x = 0 ou $x = 6$ x = 6. Axe $x = 3$ x = 3 ; $a = - 1 < 0$ a = -1 < 0 : maximum $g (3) = - 9 + 18 - 5 = 4$ g(3) = -9 + 18 - 5 = 4.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. Racines $- 1$ -1 et $4$ 4, $a = 3 > 0$ a = 3 > 0 : $h (x) > 0$ h(x) > 0 pour $x < - 1$ x < -1 ou $x > 4$ x > 4, $h (x) < 0$ h(x) < 0 pour $- 1 < x < 4$ -1 < x < 4.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $A (x) = x (- 0, 5 x + 4)$ A(x) = x(-0,5x + 4) s'annule en $0$ 0 et $8$ 8 : l'axe est $x = 4$ x = 4 et, comme $a < 0$ a < 0, l'aire est maximale pour $x = 4$ x = 4 : $A (4) = 8$ A(4) = 8 m $^{2}$ ².

Fonctions et polynômes du second degré en Première STI2D

Cours et fiche

Leçon

Fiche de révision

S'entraîner

Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Sommet, variations et lecture des formes

Plaquette 2 – Sommet, axe de symétrie et variations

Plaquette 3 – Factoriser et résoudre sans discriminant

Plaquette 4 – Signe du trinôme et inéquations

Plaquette 5 – Optimisation technique