Dérivation en Première STI2D

Dérivation en Première STI2D : cours complet

Nombre dérivé et tangente

Définition — Nombre dérivé. Quand le point $B$B de la courbe se rapproche du point $A$A d'abscisse $a$a, la sécante $(AB)$(AB) se rapproche d'une droite : la tangente en $A$A. Son coefficient directeur est le nombre dérivé de $f$f en $a$a, noté $f^{\prime }(a)$f'(a) : c'est la limite du taux de variation $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$(f(a + h) - f(a))/h quand $h$h se rapproche de $0$0.

Pour $f(x)=x^2$f(x) = x² : la sécante $(AB)$(AB) (pointillés, pente $3$3) et la tangente en $A(1;1)$A(1 ;1) (pente $f^{\prime }(1)=2$f'(1) = 2).

Méthode — Lire un nombre dérivé. $f^{\prime }(a)$f'(a) est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$a : on choisit deux points de la tangente et l'on calcule $\frac{\Delta y}{\Delta x}$(Δ y)/(Δ x). Une tangente horizontale correspond à $f^{\prime }(a)=0$f'(a) = 0.

Propriété — Équation de la tangente. La tangente au point d'abscisse $a$a a pour équation $$y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$$y = f'(a)(x - a) + f(a)

Exemple. Pour $f(x)=x^2$f(x) = x² en $a=1$a = 1 : $f(1)=1$f(1) = 1 et $f^{\prime }(1)=2$f'(1) = 2, d'où $y=2(x-1)+1=2x-1$y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1.

Fonction dérivée

Propriété — Dérivées à connaître.

Dérivée d'une somme : $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$(u + v)' = u' + v' ; d'un produit par une constante : $(ku{)}^{\prime }=k{u}^{\prime }$(ku)' = ku'.

Exemple — Dériver un polynôme. $f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 5 : $f^{\prime }(x)=2\times 3x^2-3\times 2x-12=6x^2-6x-12$f'(x) = 2 × 3x² - 3 × 2x - 12 = 6x² - 6x - 12.

Dérivée et variations

Propriété — Signe de la dérivée (admis). Sur un intervalle : si $f^{\prime }(x)>0$f'(x) > 0 (sauf en des points isolés), $f$f est strictement croissante ; si $f^{\prime }(x)<0$f'(x) < 0, strictement décroissante. Si $f^{\prime }$f' s'annule en changeant de signe en $a$a, $f$f admet un extremum local en $a$a (tangente horizontale).

Exemple — Étude complète. $f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x+1)(x-2)$f'(x) = 6x² - 6x - 12 = 6(x² - x - 2) = 6(x + 1)(x - 2) (on vérifie en développant). Signe : positif à l'extérieur de $-1$-1 et $2$2.

$f(-1)=-2-3+12+5=12$f(-1) = -2 - 3 + 12 + 5 = 12 (maximum local) et $f(2)=16-12-24+5=-15$f(2) = 16 - 12 - 24 + 5 = -15 (minimum local).

Méthode — Optimiser. On exprime la grandeur à optimiser par une fonction, on étudie ses variations sur l'intervalle utile, et l'on lit le maximum ou le minimum dans le tableau.

Vitesse moyenne et vitesse instantanée

Propriété — Interprétation cinématique. Si $x(t)$x(t) est la position d'un mobile sur une droite à l'instant $t$t, le taux de variation entre $t_1$t₁ et $t_2$t₂ est la vitesse moyenne, et le nombre dérivé $x^{\prime }(t)$x'(t) la vitesse instantanée.

Exemple — Chute d'une bille. Une bille lâchée sans vitesse parcourt $x(t)=4,9t^2$x(t) = 4,9t² mètres en $t$t secondes. Vitesse moyenne entre $1$1 et $2$2 s : $\frac{19,6-4,9}{1}=14,7$(19,6 - 4,9)/1 = 14,7 m/s. Vitesse instantanée : $x^{\prime }(t)=9,8t$x'(t) = 9,8t, soit $x^{\prime }(2)=19,6$x'(2) = 19,6 m/s.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Confondre $f(a)$f(a) (une ordonnée) et $f^{\prime }(a)$f'(a) (une pente).
• Oublier le facteur : $(2x^3{)}^{\prime }=6x^2$(2x³)' = 6x², pas $2x^2$2x².
• Conclure à un extremum dès que $f^{\prime }(a)=0$f'(a) = 0 sans changement de signe.
• Inverser $x-a$x - a et $a-x$a - x dans l'équation de la tangente.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Dérivées

Dériver : a) $f(x)=4x^3-x^2+7$f(x) = 4x³ - x² + 7 ; b) $g(x)=-3x^2+5x$g(x) = -3x² + 5x ; c) $h(x)=x^3-12x$h(x) = x³ - 12x.

Exercice 2 – Tangente

Donner l'équation de la tangente à la courbe de $g(x)=-3x^2+5x$g(x) = -3x² + 5x au point d'abscisse $1$1.

Exercice 3 – Variations

Étudier les variations de $h(x)=x^3-12x$h(x) = x³ - 12x et donner ses extremums locaux.

Exercice 4 – Coût

Le coût de fabrication de $x$x centaines de pièces est $C(x)=x^3-6x^2+15x+10$C(x) = x³ - 6x² + 15x + 10 (en euros), pour $x\in [0;6]$x ∈ [0 ;6]. Montrer que $C$C est croissante sur $[0;6]$[0 ;6].

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. a) $f^{\prime }(x)=12x^2-2x$f'(x) = 12x² - 2x. b) $g^{\prime }(x)=-6x+5$g'(x) = -6x + 5. c) $h^{\prime }(x)=3x^2-12$h'(x) = 3x² - 12.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $g(1)=2$g(1) = 2 et $g^{\prime }(1)=-1$g'(1) = -1 : $y=-(x-1)+2=-x+3$y = -(x - 1) + 2 = -x + 3.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $h^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$h'(x) = 3x² - 12 = 3(x - 2)(x + 2) : positif pour $x<-2$x < -2 et $x>2$x > 2, négatif entre. $h$h croît, décroît sur $[-2;2]$[-2 ;2], puis croît. Maximum local $h(-2)=-8+24=16$h(-2) = -8 + 24 = 16 ; minimum local $h(2)=-16$h(2) = -16.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $C^{\prime }(x)=3x^2-12x+15=3(x^2-4x+5)=3((x-2{)}^2+1)>0$C'(x) = 3x² - 12x + 15 = 3(x² - 4x + 5) = 3((x - 2)² + 1) > 0 : $C$C est strictement croissante sur $[0;6]$[0 ;6].