Calcul intégral en Terminale STI2D

Calcul intégral en Terminale STI2D : cours complet

Intégrale et aire

Définition — Intégrale d'une fonction positive. Soit $f$f continue et positive sur $[a;b]$[a ;b]. L'intégrale de $f$f de $a$a à $b$b, notée ${\int }_a^{b}f(x)dx$∫ₐ^(b) f(x) dx, est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$x = a et $x=b$x = b.

L'aire sous $y=x^2$y = x² entre $0$0 et $2$2 (en bleu), approchée par défaut par $4$4 rectangles (en orange).

Méthode — Méthode des rectangles. On partage $[a;b]$[a ;b] en $n$n intervalles de largeur $\Delta x=\frac{b-a}{n}$Δ x = (b - a)/n et l'on additionne les aires des rectangles de hauteur $f(x_i)$f(xᵢ) : $\sum _{i}f(x_i)\Delta x$Σᵢ f(xᵢ) Δ x. Plus $n$n est grand, meilleure est l'approximation.

def rectangles(f, a, b, n):
    dx = (b - a) / n
    s = 0
    for i in range(n):
        s = s + f(a + i * dx) * dx
    return s

Exemple. Pour ${\int }_0^2{x}^{2}dx$∫₀² x² dx avec $n=4$n = 4 : rectangles à gauche $0,5\times (0+0,25+1+2,25)=1,75$0,5 × (0 + 0,25 + 1 + 2,25) = 1,75, à droite $0,5\times (0,25+1+2,25+4)=3,75$0,5 × (0,25 + 1 + 2,25 + 4) = 3,75. La valeur exacte, $\frac{8}{3}\approx 2,67$8/3 ≈ 2,67, est entre les deux.

Définition — Fonction de signe quelconque. Si $f$f est négative sur $[a;b]$[a ;b], ${\int }_a^{b}f(x)dx$∫ₐ^(b) f(x) dx est l'opposé de l'aire. Si $f$f change de signe, l'intégrale est la somme des aires au-dessus de l'axe moins celle des aires au-dessous. On pose aussi ${\int }_a^{a}f=0$∫ₐ^(a) f = 0 et ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$∫_b^(a) f = -∫ₐ^(b) f.

Calcul à l'aide d'une primitive

Théorème — Théorème fondamental. Si $f$f est continue sur $[a;b]$[a ;b] et si $F$F est une primitive de $f$f : $${\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$$∫ₐ^(b) f(x) dx = [F(x)]ₐ^(b) = F(b) - F(a) De plus, la fonction $x\mapsto {\int }_a^{x}f(t)dt$x ↦ ∫ₐ^(x) f(t) dt est la primitive de $f$f qui s'annule en $a$a : sa dérivée est $f$f.

Exemple.

• ${\int }_0^2{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=\frac{8}{3}$∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3.
• ${\int }_1^3(2x+1)dx=[x^2+x{]}_1^3=12-2=10$∫₁³ (2x + 1) dx = [x² + x]₁³ = 12 - 2 = 10.
• ${\int }_0^{\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi }=1+1=2$∫₀^(π) sin x dx = [-cos x]₀^(π) = 1 + 1 = 2, mais ${\int }_0^{2\pi }\sin xdx=0$∫₀^(2π) sin x dx = 0 : les aires au-dessus et au-dessous de l'axe se compensent.

Propriétés

Propriété — Règles de calcul. Pour $f$f, $g$g continues et $k$k réel :

• linéarité : ${\int }_a^b(f+g)={\int }_a^{b}f+{\int }_a^{b}g$∫ₐ^(b) (f + g) = ∫ₐ^(b) f + ∫ₐ^(b) g et ${\int }_a^{b}kf=k{\int }_a^{b}f$∫ₐ^(b) kf = k∫ₐ^(b) f ;
• relation de Chasles : ${\int }_a^{b}f+{\int }_b^{c}f={\int }_a^{c}f$∫ₐ^(b) f + ∫_b^(c) f = ∫ₐ^(c) f ;
• positivité : si $f\ge 0$f ≥ 0 sur $[a;b]$[a ;b] ($a\le b$a ≤ b), alors ${\int }_a^{b}f\ge 0$∫ₐ^(b) f ≥ 0 ;
• croissance : si $f\le g$f ≤ g sur $[a;b]$[a ;b], alors ${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$∫ₐ^(b) f ≤ ∫ₐ^(b) g.

Méthode — Aire entre deux courbes. Si $f\ge g$f ≥ g sur $[a;b]$[a ;b], l'aire comprise entre les deux courbes est ${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$∫ₐ^(b) (f(x) - g(x)) dx.

Exemple. Entre $y=x$y = x et $y=x^2$y = x² sur $[0;1]$[0 ;1] (où $x\ge x^2$x ≥ x²) : ${\int }_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$∫₀¹ (x - x²) dx = 1/2 - 1/3 = 1/6 u.a.

Valeur moyenne et applications

Définition — Valeur moyenne. La valeur moyenne de $f$f sur $[a;b]$[a ;b] ($a<b$a < b) est $\mu =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$μ = 1/(b - a)∫ₐ^(b) f(x) dx : c'est la hauteur du rectangle de base $[a;b]$[a ;b] de même aire.

Exemple. $f(x)=x^2$f(x) = x² sur $[0;3]$[0 ;3] : ${\int }_0^3{x}^{2}dx=9$∫₀³ x² dx = 9, donc $\mu =\frac{9}{3}=3$μ = 9/3 = 3. La valeur moyenne de $\sin$sin sur $[0;\pi ]$[0 ;π] est $\frac{2}{\pi }\approx 0,64$2/π ≈ 0,64.

Exemple — Énergie et distance.

• L'énergie reçue est l'intégrale de la puissance : une puissance $P(t)=2t$P(t) = 2t kW pendant $3$3 heures fournit ${\int }_0^{3}2tdt=9$∫₀³ 2t dt = 9 kWh.
• La distance parcourue est l'intégrale de la vitesse : avec $v(t)=3t^2$v(t) = 3t² m/s, entre $0$0 et $2$2 s, $d={\int }_0^{2}3t^{2}dt=8$d = ∫₀² 3t² dt = 8 m.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Confondre intégrale et aire quand $f$f change de signe : l'aire se calcule morceau par morceau.
• Calculer $F(a)-F(b)$F(a) - F(b) au lieu de $F(b)-F(a)$F(b) - F(a).
• Oublier le facteur $\frac{1}{b-a}$1/(b - a) dans la valeur moyenne.
• Se tromper de primitive : une primitive de $\sin$sin est $-\cos$-cos.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Calculs

Calculer ${\int }_0^1(3x^2+1)dx$∫₀¹ (3x² + 1) dx et ${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx$∫₀^(π/2) cos x dx.

Exercice 2 – Valeur moyenne

Calculer la valeur moyenne de $f(t)=4-t$f(t) = 4 - t sur $[0;4]$[0 ;4].

Exercice 3 – Aire

Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de $f(x)=4-x^2$f(x) = 4 - x² et l'axe des abscisses, sur $[-2;2]$[-2 ;2].

Exercice 4 – Énergie

Un appareil absorbe la puissance $P(t)=3-0,5t$P(t) = 3 - 0,5t (en kW) pendant $4$4 heures. Calculer l'énergie consommée.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $[x^3+x{]}_0^1=2$[x³ + x]₀¹ = 2 ; $[\sin x{]}_0^{\pi /2}=1$[sin x]₀^(π/2) = 1.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. ${\int }_0^4(4-t)dt={\left[4t-\frac{t^2}{2}\right]}_0^4=8$∫₀⁴ (4 - t) dt = [4t - t²/2]₀⁴ = 8, donc $\mu =\frac{8}{4}=2$μ = 8/4 = 2.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $f\ge 0$f ≥ 0 sur $[-2;2]$[-2 ;2] : ${\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^2=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=\frac{32}{3}$[4x - x³/3]₋₂² = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 32/3 u.a.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. ${\int }_0^4(3-0,5t)dt={\left[3t-0,25t^2\right]}_0^4=12-4=8$∫₀⁴ (3 - 0,5t) dt = [3t - 0,25t²]₀⁴ = 12 - 4 = 8 kWh.