Fonction inverse en Terminale STI2D

Fonction inverse en Terminale STI2D : cours complet

Comportement aux bornes

Définition — Fonction inverse. La fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$f(x) = 1/x est définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }=]-\infty ;0[\cup ]0;+\infty [$ℝ^(*) = ]-∞ ;0[ ∪ ]0 ;+∞[ (on ne divise pas par $0$0).

Propriété — Ordres de grandeur.

• L'inverse d'un très grand nombre est très proche de $0$0 : $\frac{1}{10^6}=10^{-6}$1/10⁶ = 10⁻⁶. Quand $x$x devient très grand (positif ou négatif), $\frac{1}{x}$1/x se rapproche de $0$0.
• L'inverse d'un nombre positif très proche de $0$0 est très grand : $\frac{1}{0,001}=1000$1/0,001 = 1 000. Quand $x$x se rapproche de $0$0 par valeurs positives, $\frac{1}{x}$1/x devient aussi grand que l'on veut ; par valeurs négatives, il devient négatif et aussi grand que l'on veut en valeur absolue.

L'hyperbole $y=\frac{1}{x}$y = 1/x : les axes sont ses asymptotes. En pointillés, la tangente au point $(1;1)$(1 ;1), de coefficient directeur $-1$-1.

Remarque — Asymptotes. La courbe se rapproche autant qu'on veut de l'axe des abscisses quand $x$x devient très grand, et de l'axe des ordonnées quand $x$x se rapproche de $0$0 : ces droites sont des asymptotes de la courbe.

Dérivée et variations

Propriété — Dérivée de la fonction inverse. Pour $a\ne 0$a ≠ 0 et $h$h petit, le taux de variation vaut $$\frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h}=\frac{a-(a+h)}{ha(a+h)}=\frac{-1}{a(a+h)},$$(1/(a + h) - 1/a)/h = (a - (a + h))/(h a(a + h)) = (-1)/(a(a + h)), qui se rapproche de $-\frac{1}{a^2}$-1/a² quand $h$h se rapproche de $0$0. Ainsi $${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$$(1/x)' = -1/x²

Propriété — Sens de variation. $-\frac{1}{x^2}<0$-1/x² < 0 : la fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty ;0[$]-∞ ;0[ et sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[ (mais pas sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ℝ^(*) tout entier : $-1<1$-1 < 1 et pourtant $\frac{1}{-1}<\frac{1}{1}$1/(-1) < 1/1).

Combinaisons avec des polynômes

Méthode — Étudier $f(x)=P(x)+\frac{k}{x}$f(x) = P(x) + k/x. On dérive ($P^{\prime }(x)-\frac{k}{x^2}$P'(x) - k/x²), on réduit au même dénominateur $x^2$x² (positif), on étudie le signe du numérateur, puis on dresse le tableau de variations.

Exemple — Coût moyen. Le coût de production de $q$q unités est $C(q)=q^2+10q+400$C(q) = q² + 10q + 400 (en euros), pour $q\in [1;50]$q ∈ [1 ;50]. Le coût moyen est $$C_M(q)=\frac{C(q)}{q}=q+10+\frac{400}{q},C_M^{\prime }(q)=1-\frac{400}{q^2}=\frac{q^2-400}{q^2}=\frac{(q-20)(q+20)}{q^2}.$$C_M(q) = C(q)/q = q + 10 + 400/q, C_M'(q) = 1 - 400/q² = (q² - 400)/q² = ((q - 20)(q + 20))/q². Sur $[1;50]$[1 ;50], $C_M^{\prime }(q)$C_M'(q) a le signe de $q-20$q - 20.

Le coût moyen est minimal pour $20$20 unités : $50$50 € par unité.

Exemple — Prix unitaire. Des frais fixes de $1200$1 200 € sont répartis sur $x$x pièces : la part par pièce, $\frac{1200}{x}$(1 200)/x, diminue quand $x$x augmente, mais ne s'annule jamais.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Oublier que $0$0 n'a pas d'image.
• Dire que la fonction inverse est décroissante « sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ℝ^(*) » : c'est vrai sur chacun des deux intervalles séparément.
• Écrire ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x^2}$(1/x)' = 1/x² (oubli du signe).
• Oublier de réduire au même dénominateur avant d'étudier le signe de la dérivée.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Dérivée

Dériver $g(x)=3x^2-\frac{5}{x}$g(x) = 3x² - 5/x sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[.

Exercice 2 – Variations

Étudier les variations de $f(x)=x+\frac{9}{x}$f(x) = x + 9/x sur $]0;+\infty [$]0 ;+∞[ et donner son minimum.

Exercice 3 – Coût moyen

$C(q)=0,5q^2+2q+50$C(q) = 0,5q² + 2q + 50 pour $q\in [1;30]$q ∈ [1 ;30]. Exprimer le coût moyen $C_M(q)$C_M(q) et déterminer la production qui le rend minimal.

Exercice 4 – Ordres de grandeur

Donner $\frac{1}{0,0002}$1/(0,000 2) et $\frac{1}{2\times 10^5}$1/(2 × 10⁵) en écriture scientifique.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $g^{\prime }(x)=6x+\frac{5}{x^2}$g'(x) = 6x + 5/x².

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $f^{\prime }(x)=1-\frac{9}{x^2}=\frac{(x-3)(x+3)}{x^2}$f'(x) = 1 - 9/x² = ((x - 3)(x + 3))/x², du signe de $x-3$x - 3 : $f$f décroît sur $]0;3]$]0 ;3], croît sur $[3;+\infty [$[3 ;+∞[ ; minimum $f(3)=6$f(3) = 6.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $C_M(q)=0,5q+2+\frac{50}{q}$C_M(q) = 0,5q + 2 + 50/q ; $C_M^{\prime }(q)=0,5-\frac{50}{q^2}=\frac{0,5(q^2-100)}{q^2}$C_M'(q) = 0,5 - 50/q² = (0,5(q² - 100))/q², du signe de $q-10$q - 10. Minimum pour $q=10$q = 10 : $C_M(10)=5+2+5=12$C_M(10) = 5 + 2 + 5 = 12 €.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $\frac{1}{2\times 10^{-4}}=0,5\times 10^4=5\times 10^3$1/(2 × 10⁻⁴) = 0,5 × 10⁴ = 5 × 10³ ; $\frac{1}{2\times 10^5}=0,5\times 10^{-5}=5\times 10^{-6}$1/(2 × 10⁵) = 0,5 × 10⁻⁵ = 5 × 10⁻⁶.