L'enseignement commun s'arrête aux polynômes de degré au plus 3 ; la spécialité étend la dérivation à tout ce dont la physique a besoin : produits, quotients, puissances, cosinus, sinus et signaux $A cos (ω t + φ)$ Acos(ω t+φ).

Point de vue local : les notations $(\frac{Δ y}{Δ x})_{x_{0}}$ ((Δ y)/(Δ x))_x₀, $\frac{d y}{d x} (x_{0})$ dy/dx(x₀) et $f^{'} (x_{0})$ f'(x₀) désignent la même chose, le taux de variation infinitésimal ; l'approximation affine $f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x$ f(x₀+Δ x)≈ f(x₀)+f'(x₀) Δ x donne l'accroissement d'une grandeur au premier ordre, et $Δ y = f^{'} (x_{0}) Δ x$ Δ y = f'(x₀) Δ x.

Point de vue global : dérivée d'une somme, d'un produit, de l'inverse et d'un quotient, de $x \mapsto x^{n}$ x↦ xⁿ pour $n$ n entier naturel non nul et de $x \mapsto \frac{1}{x}$ x↦1/x, des fonctions $cos$ cos et $sin$ sin, et des composées utiles $x \mapsto f (a x + b)$ x↦ f(ax+b) et $t \mapsto A cos (ω t + φ)$ t↦ Acos(ω t+φ), dont la dérivée vaut $- A ω sin (ω t + φ)$ -Aωsin(ω t+φ). Piège classique : oublier le facteur $ω$ ω en dérivant un signal sinusoïdal.

Leçon complète

Dérivées et approximation affine en Première STI2D : cours complet

Notations et approximation affine

Définition — Notations. Pour une grandeur $y = f (x)$ y = f(x), le nombre dérivé en $x_{0}$ x₀ est la limite du taux de variation $\frac{Δ y}{Δ x}$ (Δ y)/(Δ x) quand $Δ x$ Δ x tend vers $0$ 0. Les physiciens le notent $f^{'} (x_{0}) = \frac{d y}{d x} (x_{0}) f'(x₀) = dy/dx(x₀)$ où $d x$ dx et $d y$ dy représentent des variations « infiniment petites » de $x$ x et de $y$ y.

Propriété — Approximation affine. Pour $Δ x$ Δ x proche de $0$ 0 : $f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x soit Δ y \approx f^{'} (x_{0}) Δ x . f(x₀ + Δ x) \approx f(x₀) + f'(x₀) Δ x soit Δ y \approx f'(x₀) Δ x.$ Géométriquement, on remplace la courbe par sa tangente au voisinage de $x_{0}$ x₀.

Exemple — Dilatation d'un cube. Un cube d'arête $x = 5$ x = 5 cm a pour volume $V = x^{3}$ V = x³. Si l'arête augmente de $Δ x = 0, 02$ Δ x = 0,02 cm : $Δ V \approx 3 x^{2} Δ x = 3 \times 25 \times 0, 02 = 1, 5$ Δ V ≈ 3x²Δ x = 3 × 25 × 0,02 = 1,5 cm $^{3}$ ³. La valeur exacte est $5, 0 2^{3} - 125 \approx 1, 506$ 5,02³ - 125 ≈ 1,506 cm $^{3}$ ³.

Dérivées usuelles

Propriété — Fonctions de référence.

$f (x)$ f(x)	$f^{'} (x)$ f'(x)	Ensemble
$k$ k (constante)	$0$ 0	$R$ ℝ
$x^{n}$ xⁿ ( $n \geq 1$ n ≥ 1 entier)	$n x^{n - 1}$ nxⁿ⁻¹	$R$ ℝ
$\frac{1}{x}$ 1/x	$- \frac{1}{x ^{2}}$ -1/x²	$] - \infty; 0 [$ ]-∞ ;0[ ou $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[
$cos x$ cos x	$- sin x$ -sin x	$R$ ℝ
$sin x$ sin x	$cos x$ cos x	$R$ ℝ

Opérations sur les dérivées

Propriété — Somme, produit, quotient. Pour $u$ u et $v$ v dérivables (et $v$ v ne s'annulant pas pour l'inverse et le quotient) :

$u + v$ u + v	$u^{'} + v^{'}$ u' + v'
$k u$ ku	$k u^{'}$ ku'
$uv$ uv	$u^{'} v + u v^{'}$ u'v + uv'
$\frac{1}{v}$ 1/v	$- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$ -v'/v²
$\frac{u}{v}$ u/v	$\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ (u'v - uv')/v²

Exemple.

$f (x) = (2 x + 1) (x^{2} - 3)$ f(x) = (2x + 1)(x² - 3) : $u = 2 x + 1$ u = 2x + 1, $v = x^{2} - 3$ v = x² - 3, $f^{'} (x) = 2 (x^{2} - 3) + (2 x + 1) \times 2 x = 6 x^{2} + 2 x - 6$ f'(x) = 2(x² - 3) + (2x + 1)× 2x = 6x² + 2x - 6.
$g (x) = \frac{3 x - 1}{x + 2}$ g(x) = (3x - 1)/(x + 2) sur $] - 2; + \infty [$ ]-2 ;+∞[ : $g^{'} (x) = \frac{3 ( x + 2 ) - ( 3 x - 1 ) \times 1}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{7}{( x + 2 ) ^{2}}$ g'(x) = (3(x + 2) - (3x - 1) × 1)/((x + 2)²) = 7/((x + 2)²).
$h (x) = x sin x$ h(x) = xsin x : $h^{'} (x) = sin x + x cos x$ h'(x) = sin x + xcos x.

Fonctions composées et signaux

Propriété — Dérivée de $x \mapsto f (a x + b)$ x ↦ f(ax + b). $(f (a x + b))^{'} = a f^{'} (a x + b) (f(ax + b))' = a f'(ax + b)$

Exemple. $((2 x + 1)^{3})^{'} = 2 \times 3 (2 x + 1)^{2} = 6 (2 x + 1)^{2}$ ((2x + 1)³)' = 2 × 3(2x + 1)² = 6(2x + 1)² ; $(cos (3 x))^{'} = - 3 sin (3 x)$ (cos(3x))' = -3sin(3x).

Propriété — Signaux sinusoïdaux. $(A cos (ω t + φ))^{'} = - A ω sin (ω t + φ) (A sin (ω t + φ))^{'} = A ω cos (ω t + φ) (Acos(ω t + φ))' = -Aωsin(ω t + φ) (Asin(ω t + φ))' = Aωcos(ω t + φ)$

Exemple — Un oscillateur. Une masse oscille avec la position $x (t) = 0, 05 cos (10 t)$ x(t) = 0,05cos(10t) (en mètres, $t$ t en secondes). Sa vitesse est $v (t) = x^{'} (t) = - 0, 5 sin (10 t)$ v(t) = x'(t) = -0,5sin(10t) : la vitesse maximale vaut $0, 5$ 0,5 m/s, atteinte quand la masse passe par la position d'équilibre ( $cos (10 t) = 0$ cos(10t) = 0).

Application aux variations

Exemple — Une optimisation. $f (x) = x + \frac{4}{x}$ f(x) = x + 4/x sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[ : $f^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2}} = \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ^{2}}$ f'(x) = 1 - 4/x² = (x² - 4)/x² = ((x - 2)(x + 2))/x². Sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[, $f^{'} (x)$ f'(x) a le signe de $x - 2$ x - 2 : $f$ f décroît sur $] 0; 2]$ ]0 ;2], croît sur $[2; + \infty [$ [2 ;+∞[, et son minimum est $f (2) = 4$ f(2) = 4.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

Écrire $(uv)^{'} = u^{'} v^{'}$ (uv)' = u'v' : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.
Inverser l'ordre au numérateur du quotient : c'est $u^{'} v - u v^{'}$ u'v - uv'.
Oublier le facteur $a$ a (ou $ω$ ω) en dérivant $f (a x + b)$ f(ax + b) ou un signal sinusoïdal.
Se tromper de signe : $(cos)^{'} = - sin$ (cos)' = -sin, mais $(sin)^{'} = cos$ (sin)' = cos.

Fiche de synthèse

Approximation	$f (x_{0} + Δ x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x$ f(x₀ + Δ x) ≈ f(x₀) + f'(x₀)Δ x ; $Δ y \approx \frac{d y}{d x} Δ x$ Δ y ≈ dy/dxΔ x
Usuelles	$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ ; $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ (1/x)' = -1/x² ; $(cos)^{'} = - sin$ (cos)' = -sin ; $(sin)^{'} = cos$ (sin)' = cos
Produit, quotient	$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ (uv)' = u'v + uv' ; $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ (u/v)' = (u'v - uv')/v²
Composée affine	$(f (a x + b))^{'} = a f^{'} (a x + b)$ (f(ax + b))' = af'(ax + b)
Signal	$(A cos (ω t + φ))^{'} = - A ω sin (ω t + φ)$ (Acos(ω t + φ))' = -Aωsin(ω t + φ)

Exercices d'application

Exercice 1 – Dérivées usuelles

Dériver $f (x) = x^{5} - \frac{2}{x}$ f(x) = x⁵ - 2/x et $g (x) = 4 sin x - cos x$ g(x) = 4sin x - cos x.

Exercice 2 – Produit et quotient

Dériver $h (x) = x^{2} cos x$ h(x) = x²cos x et $k (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ k(x) = (x + 1)/(x - 1) sur $] 1; + \infty [$ ]1 ;+∞[.

Exercice 3 – Composées

Dériver $m (x) = (1 - 2 x)^{4}$ m(x) = (1 - 2x)⁴ et $u (t) = 5 sin (200 t + \frac{π}{4})$ u(t) = 5sin(200t + π/4).

Exercice 4 – Approximation affine

À l'aide de l'approximation affine de $f (x) = \frac{1}{x}$ f(x) = 1/x en $x_{0} = 2$ x₀ = 2, donner une valeur approchée de $\frac{1}{2 , 1}$ 1/2,1.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $f^{'} (x) = 5 x^{4} + \frac{2}{x ^{2}}$ f'(x) = 5x⁴ + 2/x² ; $g^{'} (x) = 4 cos x + sin x$ g'(x) = 4cos x + sin x.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $h^{'} (x) = 2 x cos x - x^{2} sin x$ h'(x) = 2xcos x - x²sin x. $k^{'} (x) = \frac{1 \times ( x - 1 ) - ( x + 1 ) \times 1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{- 2}{( x - 1 ) ^{2}}$ k'(x) = (1 × (x - 1) - (x + 1) × 1)/((x - 1)²) = (-2)/((x - 1)²).

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $m^{'} (x) = - 2 \times 4 (1 - 2 x)^{3} = - 8 (1 - 2 x)^{3}$ m'(x) = -2 × 4(1 - 2x)³ = -8(1 - 2x)³ ; $u^{'} (t) = 5 \times 200 cos (200 t + \frac{π}{4}) = 1000 cos (200 t + \frac{π}{4})$ u'(t) = 5 × 200cos(200t + π/4) = 1 000cos(200t + π/4).

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $f (2) = 0, 5$ f(2) = 0,5, $f^{'} (2) = - \frac{1}{4}$ f'(2) = -1/4 : $f (2, 1) \approx 0, 5 - 0, 25 \times 0, 1 = 0, 475$ f(2,1) ≈ 0,5 - 0,25 × 0,1 = 0,475 (valeur exacte $\approx 0, 4762$ ≈ 0,476 2).

Dérivées et approximation affine en Première STI2D

Cours et fiche

Leçon

Fiche de révision

S'entraîner

Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Produit, quotient et approximation locale

Plaquette 2 – Dérivées usuelles, produit et quotient

Plaquette 3 – Tangente et approximation affine

Plaquette 4 – Notation différentielle et variations relatives

Plaquette 5 – Problèmes : optimiser et estimer