Terminale STI2D

Composition de fonctions en Terminale STI2D

Composée de deux fonctions, dérivée (v ∘ u)′ = u′ × (v′ ∘ u) et primitives du type u′f(u) en spécialité STI2D.

Mis à jour le 15 octobre 2026

Composer, c'est enchaîner deux fonctions : appliquer $u$ u, puis $v$ v au résultat obtenu. On note $v \circ u$ v∘ u, et la plupart des expressions rencontrées en physique sont de cette forme.

Au programme : la définition de $v \circ u$ v∘ u, la dérivée $(v \circ u)^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u)$ (v∘ u)'=u'×(v'∘ u), et les cas usuels $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ (uⁿ)'=n u' u^(n-1) pour $n$ n entier relatif, $(cos u)^{'} = - u^{'} sin u$ (cos u)'=-u'sin u, $(sin u)^{'} = u^{'} cos u$ (sin u)'=u'cos u, $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ ( e ^(u))'=u' e ^(u) et $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (ln u)'=u'/u.

Le même théorème, lu à l'envers, fournit des primitives : $u^{'} u^{n}$ u'uⁿ se primitive en $\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ (u^(n+1))/(n+1), $\frac{u ^{'}}{u}$ u'/u en $ln ∣ u ∣$ ln|u|, $u^{'} e^{u}$ u' e ^(u) en $e^{u}$ e ^(u), et $f (a x + b)$ f(ax+b) en $\frac{1}{a} F (a x + b)$ 1/aF(ax+b). Piège classique : oublier le facteur $u^{'}$ u', et dériver $e^{3 x}$ e ^(3x) en $e^{3 x}$ e ^(3x) au lieu de $3 e^{3 x}$ 3 e ^(3x).

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Composition de fonctions en Terminale STI2D : cours complet

Fonction composée

Définition — Composée. Soit $u$ u définie sur $I$ I et $v$ v définie sur un intervalle contenant les valeurs $u (x)$ u(x). La composée $v \circ u$ v ∘ u (« $v$ v rond $u$ u ») est la fonction $x \mapsto v (u (x))$ x ↦ v(u(x)) : on applique $u$ u, puis $v$ v au résultat.

Exemple. $u (x) = 2 x + 1$ u(x) = 2x + 1 et $v (x) = x^{2}$ v(x) = x² : $v \circ u (x) = (2 x + 1)^{2}$ v ∘ u(x) = (2x + 1)², mais $u \circ v (x) = 2 x^{2} + 1$ u ∘ v(x) = 2x² + 1. L'ordre compte. \ $e^{- x^{2}}$ e^(-x²) est la composée de $x \mapsto - x^{2}$ x ↦ -x² suivie de $exp$ exp ; $ln (x^{2} + 1)$ ln(x² + 1) celle de $x \mapsto x^{2} + 1$ x ↦ x² + 1 suivie de $ln$ ln.

Dérivée d'une composée

Théorème — Dérivée de $v \circ u$ v ∘ u (admis). Si $u$ u est dérivable sur $I$ I et $v$ v dérivable sur un intervalle contenant les $u (x)$ u(x) : $(v \circ u)^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u) c’est- \overset{a}{ˋ} -dire (v (u (x)))^{'} = u^{'} (x) v^{'} (u (x)) . (v \circ u)' = u' \times (v' \circ u) c'est-à-dire (v(u(x)))' = u'(x) v'(u(x)).$

Propriété — Cas usuels.

Fonction	Dérivée	Condition
$u^{n}$ uⁿ ( $n$ n entier relatif)	$n u^{'} u^{n - 1}$ nu'uⁿ⁻¹	$u \neq = 0$ u ≠ 0 si $n < 0$ n < 0
$e^{u}$ e^(u)	$u^{'} e^{u}$ u'e^(u)
$ln u$ ln u	$\frac{u ^{'}}{u}$ u'/u	$u > 0$ u > 0
$cos u$ cos u	$- u^{'} sin u$ -u'sin u
$sin u$ sin u	$u^{'} cos u$ u'cos u

Exemple.

$((x^{2} + 1)^{5})^{'} = 5 \times 2 x \times (x^{2} + 1)^{4} = 10 x (x^{2} + 1)^{4}$ ((x² + 1)⁵)' = 5 × 2x × (x² + 1)⁴ = 10x(x² + 1)⁴.
$(e^{- x^{2}})^{'} = - 2 x e^{- x^{2}}$ (e^(-x²))' = -2xe^(-x²) ; \quad $(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ (ln(x² + 1))' = 2x/(x² + 1).
$(cos (3 x^{2}))^{'} = - 6 x sin (3 x^{2})$ (cos(3x²))' = -6xsin(3x²).
$(\frac{1}{( 2 x + 3 ) ^{2}})^{'} = ((2 x + 3)^{- 2})^{'} = - 2 \times 2 (2 x + 3)^{- 3} = \frac{- 4}{( 2 x + 3 ) ^{3}}$ (1/((2x + 3)²))' = ((2x + 3)⁻²)' = -2 × 2(2x + 3)⁻³ = (-4)/((2x + 3)³).

Primitives

Propriété — Lire les dérivées à l'envers. Sur un intervalle où les expressions ont un sens :

Fonction	Une primitive
$u^{'} u^{n}$ u'uⁿ ( $n \neq = - 1$ n ≠ -1)	$\frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ uⁿ⁺¹/(n + 1)
$\frac{u ^{'}}{u}$ u'/u	$ln ∣ u ∣$ ln\|u\|
$u^{'} e^{u}$ u'e^(u)	$e^{u}$ e^(u)
$f (a x + b)$ f(ax + b)	$\frac{1}{a} F (a x + b)$ 1/a F(ax + b)

Méthode — Faire apparaître $u^{'}$ u'. On repère $u$ u, on calcule $u^{'}$ u' et l'on ajuste par une constante multiplicative. Exemple : $x e^{x^{2}} = \frac{1}{2} \times 2 x e^{x^{2}}$ xe^(x²) = 1/2 × 2xe^(x²), de primitive $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ 1/2e^(x²).

Exemple.

$2 x (x^{2} + 1)^{3}$ 2x(x² + 1)³ : primitive $\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{4}}{4}$ ((x² + 1)⁴)/4.
$\frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ 2x/(x² + 1) : primitive $ln (x^{2} + 1)$ ln(x² + 1) (ici $x^{2} + 1 > 0$ x² + 1 > 0).
$e^{3 x}$ e^(3x) : primitive $\frac{1}{3} e^{3 x}$ 1/3e^(3x).
$\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x = [e^{x^{2}}]_{0}^{1} = e - 1$ ∫₀¹ 2xe^(x²) dx = [e^(x²)]₀¹ = e - 1.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

Oublier le facteur $u^{'}$ u' : $(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x}$ (e^(3x))' = 3e^(3x), pas $e^{3 x}$ e^(3x).
Inverser l'ordre de la composition.
Primitiver $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ 1/(x² + 1) en $ln (x^{2} + 1)$ ln(x² + 1) : il manque le $2 x$ 2x au numérateur.
Oublier la condition $u > 0$ u > 0 pour $ln u$ ln u.

Fiche de synthèse

Composée	$v \circ u (x) = v (u (x))$ v ∘ u(x) = v(u(x))
Dérivée	$(v \circ u)^{'} = u^{'} \times v^{'} \circ u$ (v ∘ u)' = u' × v' ∘ u
Cas usuels	$(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ (uⁿ)' = nu'uⁿ⁻¹ ; $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ (e^(u))' = u'e^(u) ; $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ (ln u)' = u'/u ; $(cos u)^{'} = - u^{'} sin u$ (cos u)' = -u'sin u
Primitives	$u^{'} u^{n} \to \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ u'uⁿ → uⁿ⁺¹/(n + 1) ; $\frac{u ^{'}}{u} \to ln ∣ u ∣$ u'/u → ln\|u\| ; $u^{'} e^{u} \to e^{u}$ u'e^(u) → e^(u)

Exercices d'application

Exercice 1 – Dériver

Dériver $f (x) = (3 x - 1)^{4}$ f(x) = (3x - 1)⁴, $g (x) = e^{s i n x}$ g(x) = e^(sin x) et $h (x) = ln (1 + e^{x})$ h(x) = ln(1 + e^(x)).

Exercice 2 – Primitives

Déterminer une primitive de $p (x) = \frac{x}{x ^{2} + 4}$ p(x) = x/(x² + 4) et de $q (x) = (2 x + 1)^{3}$ q(x) = (2x + 1)³.

Exercice 3 – Intégrale

Calculer $\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x$ ∫₀¹ 2x/(x² + 1) dx.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $f^{'} (x) = 12 (3 x - 1)^{3}$ f'(x) = 12(3x - 1)³ ; $g^{'} (x) = cos x e^{s i n x}$ g'(x) = cos x e^(sin x) ; $h^{'} (x) = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}}$ h'(x) = e^(x)/(1 + e^(x)).

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $p = \frac{1}{2} \times \frac{2 x}{x ^{2} + 4}$ p = 1/2 × 2x/(x² + 4) : primitive $\frac{1}{2} ln (x^{2} + 4)$ 1/2ln(x² + 4). $q = \frac{1}{2} \times 2 (2 x + 1)^{3}$ q = 1/2 × 2(2x + 1)³ : primitive $\frac{( 2 x + 1 ) ^{4}}{8}$ ((2x + 1)⁴)/8.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $[ln (x^{2} + 1)]_{0}^{1} = ln 2 \approx 0, 693$ [ln(x² + 1)]₀¹ = ln 2 ≈ 0,693.

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Dérivées, primitives, intégrale, exponentielle et logarithme : la chaîne d'outils de la spécialité physique-chimie et mathématiques.

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Plaquette 1 – Composer, dériver et primitiver u'f(u)

Plaquette 2 – Composer et décomposer : images, domaines, variations

Plaquette 3 – Dériver une composée : chaîne, tangentes, signaux

Plaquette 4 – Primitives de la forme u'f(u) et intégrales

Plaquette 5 – Composées en situation : modèles, études, optimisation

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