Équations différentielles en Terminale STI2D

Équations différentielles en Terminale STI2D : cours complet

Équation différentielle et solution

Définition — Équation différentielle. Une équation différentielle relie une fonction inconnue $y$y à sa dérivée $y^{\prime }$y'. Une solution sur un intervalle $I$I est une fonction dérivable sur $I$I qui vérifie l'égalité pour tout $x$x de $I$I.

Exemple — Vérifier une solution. $f(x)=3e^{2x}$f(x) = 3e^(2x) est solution de $y^{\prime }=2y$y' = 2y : $f^{\prime }(x)=6e^{2x}=2f(x)$f'(x) = 6e^(2x) = 2f(x). \ $g(x)=e^{-x}+x-1$g(x) = e^(-x) + x - 1 est solution de $y^{\prime }+y=x$y' + y = x : $g^{\prime }(x)+g(x)=(-e^{-x}+1)+(e^{-x}+x-1)=x$g'(x) + g(x) = (-e^(-x) + 1) + (e^(-x) + x - 1) = x.

L'équation $y^{\prime }=ay$y' = ay

Théorème — Solutions de $y^{\prime }=ay$y' = ay. Les solutions sur $\mathbb{R}$ℝ de $y^{\prime }=ay$y' = ay sont les fonctions $$x\mapsto C{e}^{ax},C\text{ constante reˊelle.}$$x ↦ Ce^(ax), C constante réelle. Pour une condition initiale $y(x_0)=y_0$y(x₀) = y₀ donnée, il existe une unique solution.

Exemple — Décroissance radioactive. $N^{\prime }=-\lambda N$N' = -λ N avec $N(0)=N_0$N(0) = N₀ : $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$N(t) = N₀e^(-λ t). La quantité est divisée par $2$2 à chaque demi-vie $T=\frac{\ln 2}{\lambda }$T = (ln 2)/λ.

L'équation $y^{\prime }=ay+b$y' = ay + b

Théorème — Solutions de $y^{\prime }=ay+b$y' = ay + b, $a\ne 0$a ≠ 0. La fonction constante $x\mapsto -\frac{b}{a}$x ↦ -b/a est solution. Les solutions sur $\mathbb{R}$ℝ sont les fonctions $$x\mapsto C{e}^{ax}-\frac{b}{a},C\text{ reˊel,}$$x ↦ Ce^(ax) - b/a, C réel, c'est-à-dire une solution de $y^{\prime }=ay$y' = ay plus la solution constante.

Méthode — Avec une condition initiale. On écrit la forme générale, puis on remplace $x$x par $x_0$x₀ pour trouver $C$C. Attention : $C$C n'est égale à $y(0)$y(0) que dans le cas $b=0$b = 0.

Exemple — Refroidissement. Un café à $90{}^{\circ }$90 °C refroidit dans une pièce à $20{}^{\circ }$20 °C selon ${\theta }^{\prime }=-0,1\theta +2$θ' = -0,1θ + 2 ($t$t en minutes). Solution constante : $\frac{2}{0,1}=20$2/0,1 = 20. Donc $\theta (t)=C{e}^{-0,1t}+20$θ(t) = Ce^(-0,1t) + 20, et $\theta (0)=C+20=90$θ(0) = C + 20 = 90 donne $C=70$C = 70 : $$\theta (t)=70e^{-0,1t}+20.$$θ(t) = 70e^(-0,1t) + 20. Après $10$10 min : $\theta (10)=70e^{-1}+20\approx 45,8{}^{\circ }$θ(10) = 70e⁻¹ + 20 ≈ 45,8 °C. Il atteint $30{}^{\circ }$30 °C quand $70e^{-0,1t}=10$70e^(-0,1t) = 10, soit $t=10\ln 7\approx 19,5$t = 10ln 7 ≈ 19,5 min.

La température tend vers $20{}^{\circ }$20 °C, la solution constante (asymptote en pointillés).

Exemple — Charge d'un circuit RC. La tension $u$u aux bornes du condensateur vérifie $RC{u}^{\prime }+u=E$RC u' + u = E, soit $u^{\prime }=-\frac{1}{RC}u+\frac{E}{RC}$u' = -1/RCu + E/RC. Avec $u(0)=0$u(0) = 0 : $u(t)=E\left(1-e^{-t/(RC)}\right)$u(t) = E(1 - e^(-t/(RC))).

Méthode d'Euler

Méthode — Approcher une solution. Pour $y^{\prime }=f(x,y)$y' = f(x, y) avec $y(x_0)=y_0$y(x₀) = y₀ et un pas $h$h : $y_{k+1}=y_k+h\times f(x_k,y_k)$yₖ₊₁ = yₖ + h × f(xₖ, yₖ). Pour $y^{\prime }=y$y' = y, $y(0)=1$y(0) = 1 : $y_{k+1}=(1+h)y_k$yₖ₊₁ = (1 + h)yₖ, d'où $y(1)\approx (1+h{)}^{1/h}$y(1) ≈ (1 + h)^(1/h), qui s'approche de $e$e quand $h$h diminue ($1,1^{10}\approx 2,59$1,1¹⁰ ≈ 2,59 ; $1,01^{100}\approx 2,70$1,01¹⁰⁰ ≈ 2,70).

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Oublier la solution constante $-\frac{b}{a}$-b/a.
• Confondre $C$C et la valeur initiale quand $b\ne 0$b ≠ 0.
• Se tromper de signe : la solution constante de $y^{\prime }=ay+b$y' = ay + b est $-\frac{b}{a}$-b/a, pas $\frac{b}{a}$b/a.
• Écrire $C{e}^x$Ce^(x) au lieu de $C{e}^{ax}$Ce^(ax).

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Homogène

Résoudre $y^{\prime }=-3y$y' = -3y avec $y(0)=4$y(0) = 4.

Exercice 2 – Avec second membre

Résoudre $y^{\prime }=2y-6$y' = 2y - 6, puis déterminer la solution telle que $y(0)=5$y(0) = 5.

Exercice 3 – Décharge

Lors de la décharge d'un condensateur, $u^{\prime }=-0,5u$u' = -0,5u et $u(0)=10$u(0) = 10 V. Exprimer $u(t)$u(t) et calculer l'instant où $u=1$u = 1 V.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $y=C{e}^{-3x}$y = Ce^(-3x) et $y(0)=C=4$y(0) = C = 4 : $y=4e^{-3x}$y = 4e^(-3x).

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. Solution constante $-\frac{-6}{2}=3$-(-6)/2 = 3 : $y=C{e}^{2x}+3$y = Ce^(2x) + 3. $y(0)=C+3=5$y(0) = C + 3 = 5 donne $C=2$C = 2 : $y=2e^{2x}+3$y = 2e^(2x) + 3.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $u(t)=10e^{-0,5t}$u(t) = 10e^(-0,5t). $10e^{-0,5t}=1⟺-0,5t=\ln 0,1⟺t=2\ln 10\approx 4,6$10e^(-0,5t) = 1 ⇔ -0,5t = ln 0,1 ⇔ t = 2ln 10 ≈ 4,6 s.