Condition de parallélisme : la formule et un exemple

Q: Comment distinguer parallèles et confondues ?

Si m = m' et p ≠ p', les droites sont strictement parallèles. Si m = m' et p = p', c'est la même droite.

Ce que dit la formule

En forme réduite, deux droites $y = m x + p$ y = mx + p et $y = m^{'} x + p^{'}$ y = m'x + p' sont parallèles si et seulement si $m = m^{'}$ m = m'.

Sinon, on vérifie que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (déterminant nul).

Le coefficient directeur mesure la pente : deux droites de même pente montent au même rythme, donc ne se rencontrent jamais — sauf si elles sont confondues.

Le critère par les vecteurs directeurs est le plus général : il couvre aussi les droites verticales, qui n'ont pas de coefficient directeur.

Exemple

y = 2 x + 1

y = 2x + 1 et

y = 2 x - 3

y = 2x - 3 ont le même coefficient directeur

2

2 : elles sont parallèles.

Deuxième exemple

y = - 0, 5 x + 4

y = -0,5x + 4 et

2 y + x = 6

2y + x = 6 : la seconde s'écrit

y = - 0, 5 x + 3

y = -0,5x + 3. Les deux ont pour coefficient directeur

- 0, 5

-0,5, elles sont donc parallèles, et distinctes puisque les ordonnées à l'origine diffèrent.

Piège à éviter

Même

m

m mais

p

p différents → strictement parallèles ; même

m

m et même

p

p → confondues.

Questions fréquentes

Comment comparer deux droites données sous forme non réduite ?

On les met d'abord sous la forme

y = m x + p

y = mx + p, puis on compare les coefficients directeurs.

Deux droites verticales sont-elles parallèles ?

Oui, toujours. Elles n'ont pas de coefficient directeur : on utilise alors le critère des vecteurs directeurs, qui sont tous colinéaires.

Comment distinguer parallèles et confondues ?

m = m^{'}

m = m' et

p \neq = p^{'}

p ≠ p', les droites sont strictement parallèles. Si

m = m^{'}

m = m' et

p = p^{'}

p = p', c'est la même droite.

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