L'équation cartésienne d'une droite — exercices types corrigés

1. 1.
   Vecteur directeur : $\overrightarrow{AB}(2;6)$vecteur AB (2 ;6).

   → Équation par colinéarité
2. 2.
   Colinéarité : $(x-1)\times 6-(y-2)\times 2=0$(x-1)× 6 - (y-2)× 2 = 0, soit $6x-2y-2=0$6x - 2y - 2 = 0.
3. 3.
   On simplifie par $2$2 : $3x-y-1=0$3x - y - 1 = 0 (vérification avec $B$B : $9-8-1=0$9 - 8 - 1 = 0 ✓).

Méthode utilisée : On prend $\overrightarrow{AB}$vecteur AB comme vecteur directeur, puis on écrit $ax+by+c=0$ax+by+c=0.

1. 1.
   Colinéarité de $\overrightarrow{AM}(x-1;y-2)$vecteur AM (x-1 ;y-2) et $\vec{u}(2;3)$vecteur u (2 ;3) : $(x-1)\times 3-(y-2)\times 2=0$(x-1)× 3 - (y-2)× 2 = 0.

   → Équation par colinéarité
2. 2.
   Développement : $3x-3-2y+4=0$3x - 3 - 2y + 4 = 0.
3. 3.
   $3x-2y+1=0$3x - 2y + 1 = 0 (vérification avec $A$A : $3-4+1=0$3 - 4 + 1 = 0 ✓).

1. 1.
   On isole $y$y : $3x-y-1=0⟺y=3x-1$3x - y - 1 = 0 ⇔ y = 3x - 1.

   → Passage à la forme réduite
2. 2.
   Le coefficient directeur (la pente) est $m=3$m = 3, l'ordonnée à l'origine $p=-1$p = -1.

1. 1.
   On remplace les coordonnées de $C$C dans l'équation.

   → Forme générale et vecteur directeur
2. 2.
   $3\times 2-5-1=6-5-1=0$3× 2 - 5 - 1 = 6 - 5 - 1 = 0.
3. 3.
   On obtient $0$0 : le point $C$C appartient bien à la droite $d$d.

Méthode utilisée : On remplace les coordonnées du point et on vérifie l'égalité $=0$=0.

1. 1.
   Pour $ax+by+c=0$ax + by + c = 0, un vecteur directeur est $\vec{u}(-b;a)$vecteur u (-b ;a).

   → Forme générale et vecteur directeur
2. 2.
   Avec $a=2$a = 2, $b=3$b = 3 : $\vec{u}(-3;2)$vecteur u (-3 ;2).

Méthode utilisée : Pour $ax+by+c=0$ax+by+c=0, un vecteur directeur est $(-b;a)$(-b ;a).

Erreur fréquente : Prendre $(a;b)$(a ;b) : c'est le vecteur normal.

1. 1.
   Colinéarité de $\overrightarrow{AM}(x;y-2)$vecteur AM (x ;y-2) et $\vec{u}(1;3)$vecteur u (1 ;3) : $x\times 3-(y-2)\times 1=0$x× 3 - (y - 2)× 1 = 0.

   → Équation par colinéarité
2. 2.
   $3x-y+2=0$3x - y + 2 = 0 (vérif avec $A$A : $0-2+2=0$0 - 2 + 2 = 0 ✓).

1. 1.
   On isole $y$y : $-y=-2x-4$-y = -2x - 4, soit $y=2x+4$y = 2x + 4.

   → Passage à la forme réduite

1. 1.
   Vecteur directeur $\overrightarrow{AB}(2;4)$vecteur AB (2 ;4).

   → Équation par colinéarité
2. 2.
   $x\times 4-(y-1)\times 2=0$x× 4 - (y - 1)× 2 = 0, soit $4x-2y+2=0$4x - 2y + 2 = 0.
3. 3.
   On simplifie par $2$2 : $2x-y+1=0$2x - y + 1 = 0 (vérif avec $B$B : $4-5+1=0$4 - 5 + 1 = 0 ✓).

1. 1.
   On remplace : $3\times 1-2-1=0$3× 1 - 2 - 1 = 0.

   → Forme générale et vecteur directeur
2. 2.
   On obtient $0$0 : $D$D appartient à la droite.

1. 1.
   Pour $y=mx+p$y = mx + p, un vecteur directeur est $\vec{u}(1;m)$vecteur u (1 ;m).

   → Forme générale et vecteur directeur
2. 2.
   Avec $m=-2$m = -2 : $\vec{u}(1;-2)$vecteur u (1 ;-2).