Exercices corrigés : Coordonnées de vecteurs — Seconde

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1. 1

   $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)=(5-1;7-2)=(4;5)$vecteur AB (x_B-x_A ;y_B-y_A)=(5-1 ;7-2)=(4 ;5).

Rappel de cours : $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$vecteur AB =(x_B-x_A ;y_B-y_A) : arrivée moins départ sur chaque axe.

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1. 1

   $\overrightarrow{AB}(1-(-2);-1-3)=(3;-4)$vecteur AB (1-(-2) ;-1-3)=(3 ;-4).

Rappel de cours : $1-(-2)=3$1-(-2)=3 : soustraire un négatif revient à ajouter.

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1. 1

   $B$B est défini par $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$vecteur AB = vecteur u, soit $(x_B-2;y_B+1)=(3;4)$(x_B-2 ;y_B+1)=(3 ;4).

2. 2

   $x_B=2+3=5$x_B=2+3=5 et $y_B=-1+4=3$y_B=-1+4=3.

Rappel de cours : Translater un point de vecteur $\vec{u}(a;b)$vecteur u (a ;b) : on ajoute $a$a à l'abscisse et $b$b à l'ordonnée.

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1. 1

   $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$‖ vecteur u ‖=√(x²+y²)=√(3²+(-4)²)=√(9+16)=√(25)=5.

Rappel de cours : Norme : $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$‖ vecteur u ‖=√(x²+y²) (longueur du vecteur).

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1. 1

   On additionne coordonnée par coordonnée : $\vec{u}+\vec{v}(2+(-1);3+4)=(1;7)$vecteur u + vecteur v (2+(-1) ;3+4)=(1 ;7).

Rappel de cours : Somme de vecteurs : on additionne les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.

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1. 1

   $2\vec{u}(2\times 3;2\times (-2))=(6;-4)$2 vecteur u (2× 3 ;2×(-2))=(6 ;-4).

2. 2

   $-\vec{u}(-3;2)$- vecteur u (-3 ;2).

Rappel de cours : $k\vec{u}(kx;ky)$k vecteur u (kx ;ky) : on multiplie chaque coordonnée par $k$k.

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1. 1

   $\overrightarrow{AB}(3;2)$vecteur AB (3 ;2).

   On veut $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$vecteur CD = vecteur AB, avec $\overrightarrow{CD}(x_D-0;y_D-0)=(x_D;y_D)$vecteur CD (x_D-0 ;y_D-0)=(x_D ;y_D).

2. 2

   Donc $x_D=3$x_D=3 et $y_D=2$y_D=2 : $D(3;2)$D(3 ;2).

Rappel de cours : Deux vecteurs sont égaux $⟺$⇔ mêmes coordonnées.

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1. 1

   Déterminant : $\det (\vec{u},\vec{v})=3\times 4-(-2)\times (-6)=12-12=0$det( vecteur u , vecteur v )=3× 4-(-2)×(-6)=12-12=0.

2. 2

   Le déterminant est nul : les vecteurs sont colinéaires.

3. 3

   $-6=-2\times 3$-6=-2× 3 et $4=-2\times (-2)$4=-2×(-2), donc $\vec{v}=-2\vec{u}$vecteur v =-2 vecteur u (même direction, sens contraire).

Rappel de cours : $\vec{u}(x;y)$vecteur u (x ;y) et $\vec{v}(x^{\prime };y^{\prime })$vecteur v (x' ;y') sont colinéaires $⟺x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=0$⇔ xy'-yx'=0.

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1. 1

   $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$‖ vecteur u ‖=√(6²+8²)=√(100)=10.

2. 2

   Diviser un vecteur par sa norme donne un vecteur de norme $1$1 : $\vec{w}=\frac{1}{10}\vec{u}=(0,6;0,8)$vecteur w =1/10 vecteur u =(0,6 ;0,8).

3. 3

   Vérification : $\sqrt{0,36+0,64}=\sqrt{1}=1$√(0,36+0,64)=sqrt1=1.

Rappel de cours : $\Vert k\vec{u}\Vert =|k|\times \Vert \vec{u}\Vert$‖k vecteur u ‖=|k|×‖ vecteur u ‖.

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1. 1

   Critère : $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v sont colinéaires $⟺x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=0$⇔ xy'-yx'=0.

2. 2

   $2\times 6-3\times 4=12-12=0$2× 6-3× 4=12-12=0 : ils sont colinéaires.

Rappel de cours : Colinéarité : $x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=0$xy'-yx'=0 (le « déterminant »). Ici $\vec{v}=2\vec{u}$vecteur v =2 vecteur u.

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1. 1

   $x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=1\times 5-2\times 3=5-6=-1\ne 0$xy'-yx'=1× 5-2× 3=5-6=-1≠ 0.

2. 2

   Le déterminant n'est pas nul : ils ne sont pas colinéaires.

Rappel de cours : Si $x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }\ne 0$xy'-yx'≠ 0, les vecteurs ne sont pas colinéaires (directions différentes).

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1. 1

   $\overrightarrow{AB}(2;3)$vecteur AB (2 ;3) et $\overrightarrow{AC}(6;9)$vecteur AC (6 ;9).

2. 2

   Colinéarité : $2\times 9-3\times 6=18-18=0$2× 9-3× 6=18-18=0.

   Les vecteurs sont colinéaires, donc $A$A, $B$B, $C$C sont alignés.

Rappel de cours : Alignement de $A$A, $B$B, $C$C $⟺\overrightarrow{AB}$⇔ vecteur AB et $\overrightarrow{AC}$vecteur AC colinéaires.

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1. 1

   $2\vec{u}(2;4)$2 vecteur u (2 ;4) et $-\vec{v}(-3;1)$- vecteur v (-3 ;1).

2. 2

   $2\vec{u}-\vec{v}(2-3;4+1)=(-1;5)$2 vecteur u - vecteur v (2-3 ;4+1)=(-1 ;5).

Rappel de cours : On calcule chaque vecteur séparément, puis on additionne coordonnée par coordonnée.

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1. 1

   $\overrightarrow{AB}(2;3)$vecteur AB (2 ;3) et $\overrightarrow{CD}(4;6)$vecteur CD (4 ;6).

   $\det =2\times 6-3\times 4=0$det=2× 6-3× 4=0 : vecteurs colinéaires, donc $(AB)\Vert (CD)$(AB) ‖ (CD).

2. 2

   Pour savoir si elles sont confondues, on teste si $C\in (AB)$C∈(AB) : $\overrightarrow{AC}(-1;-3)$vecteur AC (-1 ;-3), $\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=2\times (-3)-3\times (-1)=-3\ne 0$det( vecteur AB , vecteur AC )=2×(-3)-3×(-1)=-3≠ 0.

3. 3

   $C$C n'est pas sur $(AB)$(AB) : les droites sont strictement parallèles ($ABDC$ABDC est un trapèze).

Rappel de cours : Deux droites parallèles sont confondues si et seulement si elles ont un point commun.

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1. 1

   On note $M(x;y)$M(x ;y).

   $\overrightarrow{MA}(1-x;3-y)$vecteur MA (1-x ;3-y) et $\overrightarrow{MB}(4-x;-y)$vecteur MB (4-x ;-y).

2. 2

   Abscisses : $(1-x)+2(4-x)=0⟺9-3x=0⟺x=3$(1-x)+2(4-x)=0⇔ 9-3x=0⇔ x=3.

3. 3

   Ordonnées : $(3-y)+2(-y)=0⟺3-3y=0⟺y=1$(3-y)+2(-y)=0⇔ 3-3y=0⇔ y=1.

4. 4

   Contrôle : $\overrightarrow{MA}(-2;2)$vecteur MA (-2 ;2), $\overrightarrow{MB}(1;-1)$vecteur MB (1 ;-1), et $(-2;2)+2(1;-1)=(0;0)$(-2 ;2)+2(1 ;-1)=(0 ;0).

Rappel de cours : Une égalité de vecteurs équivaut à deux égalités : une sur les abscisses, une sur les ordonnées.

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1. 1

   $ABCD$ABCD parallélogramme $⟺\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$⇔ vecteur AB = vecteur DC.

   $\overrightarrow{AB}(3;1)$vecteur AB (3 ;1).

2. 2

   $\overrightarrow{DC}(6-x_D;7-y_D)=(3;1)$vecteur DC (6-x_D ;7-y_D)=(3 ;1), donc $6-x_D=3$6-x_D=3 et $7-y_D=1$7-y_D=1, soit $x_D=3$x_D=3, $y_D=6$y_D=6.

Rappel de cours : $ABCD$ABCD parallélogramme $⟺\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$⇔ vecteur AB = vecteur DC : on résout l'égalité des coordonnées.

Erreur fréquente : L'ordre des sommets impose $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$vecteur AB = vecteur DC (et non $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$vecteur AB = vecteur CD).

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1. 1

   $\overrightarrow{AB}(2;4)$vecteur AB (2 ;4) et $\overrightarrow{AC}(4;k-2)$vecteur AC (4 ;k-2).

   Alignement $⟺$⇔ colinéaires $⟺$⇔ $2(k-2)-4\times 4=0$2(k-2)-4× 4=0.

2. 2

   $2(k-2)=16$2(k-2)=16, soit $k-2=8$k-2=8, donc $k=10$k=10.

Rappel de cours : Alignement avec un point inconnu : on écrit le déterminant nul, ce qui donne une équation en l'inconnue.

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1. 1

   Colinéarité : $x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=0$xy'-yx'=0, soit $2\times 6-m\times 3=0$2× 6-m× 3=0.

2. 2

   $12-3m=0$12-3m=0, donc $m=4$m=4.

Rappel de cours : On pose le déterminant $x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }=0$xy'-yx'=0 et on résout en le paramètre.

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1. 1

   Milieu : $I\left(\frac{2+6}{2};\frac{1+5}{2}\right)=I(4;3)$I ((2+6)/2 ;(1+5)/2)=I(4 ;3).

2. 2

   $\overrightarrow{AI}(4-2;3-1)=(2;2)$vecteur AI (4-2 ;3-1)=(2 ;2) et $\overrightarrow{IB}(6-4;5-3)=(2;2)$vecteur IB (6-4 ;5-3)=(2 ;2) : on a bien $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$vecteur AI = vecteur IB.

Rappel de cours : Le milieu a pour coordonnées la moyenne de celles de $A$A et $B$B ; il vérifie $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$vecteur AI = vecteur IB.

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1. 1

   $a\vec{u}+b\vec{v}$a vecteur u +b vecteur v a pour coordonnées $(a+3b;2a-b)$(a+3b ;2a-b).

   On veut $(7;0)$(7 ;0).

2. 2

   Deux égalités, une par coordonnée : $a+3b=7$a+3b=7 et $2a-b=0$2a-b=0.

3. 3

   La seconde équation donne $b=2a$b=2a.

   Dans la première : $a+6a=7$a+6a=7, donc $a=1$a=1 et $b=2$b=2.

4. 4

   Vérification : $\vec{u}+2\vec{v}=(1+6;2-2)=(7;0)$vecteur u +2 vecteur v =(1+6 ;2-2)=(7 ;0).

Rappel de cours : Si $\vec{u}$vecteur u et $\vec{v}$vecteur v ne sont pas colinéaires ($\det =1\times (-1)-2\times 3=-7\ne 0$det=1×(-1)-2× 3=-7≠ 0), tout vecteur du plan s'écrit de façon unique $a\vec{u}+b\vec{v}$a vecteur u +b vecteur v.