Notion

La position relative de deux droites

Étudier la position relative de deux droites, c'est déterminer si elles sont sécantes, strictement parallèles ou confondues. Dans un repère, tout se lit sur les équations réduites $y = m x + p$ y=mx+p : si les coefficients directeurs diffèrent ( $m \neq = m^{'}$ m≠ m'), les droites sont sécantes en un point unique ; s'ils sont égaux ( $m = m^{'}$ m=m') avec des ordonnées à l'origine différentes, elles sont strictement parallèles ; s'ils sont égaux avec la même ordonnée à l'origine, elles sont confondues. Pour trouver le point d'intersection de deux droites sécantes, on résout le système formé par leurs équations. Cette étude est essentielle en géométrie repérée et pour résoudre graphiquement un système.

Définitions

Position relative: C'est la façon dont deux droites se situent l'une par rapport à l'autre : sécantes, strictement parallèles, ou confondues.
Sécantes, parallèles, confondues: $m \neq = m^{'}$ m≠ m' : sécantes en un point. $m = m^{'}$ m=m' et $p \neq = p^{'}$ p≠ p' : strictement parallèles. $m = m^{'}$ m=m' et $p = p^{'}$ p=p' : confondues.

Formules

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Les trois cas →

m \neq = m^{'} : s \overset{e}{ˊ} cantes m = m^{'}, p \neq = p^{'} : strictement parall \overset{e}{ˋ} les m = m^{'}, p = p^{'} : confondues

m ≠ m' : sécantes m = m', p ≠ p' : strictement parallèles m = m', p = p' : confonduesTout dépend de m (et de p si m = m').

Méthodes

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Étudier la position relative de deux droites →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Droites sécantes

Niveau 2 · Méthode complète

Étudier la position de

y = 2 x + 1

y = 2x + 1 et

y = 3 x - 4

y = 3x - 4, et donner le point d'intersection.

Voir la correction

1.
$m = 2 \neq = 3 = m^{'}$ m = 2 ≠ 3 = m' : sécantes.
→ Les trois cas
2.
$2 x + 1 = 3 x - 4 \Rightarrow x = 5$ 2x + 1 = 3x - 4 ⇒ x = 5, puis $y = 2 \times 5 + 1 = 11$ y = 2× 5 + 1 = 11.

Réponse : Sécantes en

(5; 11)

(5 ;11).

Méthode utilisée : Coefficients différents $\Rightarrow$ ⇒ sécantes ; on résout le système pour le point.

Erreur fréquente : Oublier de calculer le point d'intersection.

Strictement parallèles

Niveau 1 · Application directe

Quelle est la position de

y = 2 x + 1

y = 2x + 1 et

y = 2 x - 3

y = 2x - 3 ?

Voir la correction

1.
$m = m^{'} = 2$ m = m' = 2 et $p = 1 \neq = - 3 = p^{'}$ p = 1 ≠ -3 = p'.
→ Les trois cas
2.
Strictement parallèles.

Réponse : Strictement parallèles.

Faire les 10 exercices types sur position relative de deux droites8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Quelles sont les positions possibles de deux droites ?

Trois cas : sécantes (un seul point commun), strictement parallèles (aucun point commun), ou confondues (exactement la même droite).

Comment les distinguer ?

On compare les coefficients directeurs. S'ils diffèrent, les droites sont sécantes. S'ils sont égaux, on regarde l'ordonnée à l'origine : différente → strictement parallèles, identique → confondues.

Comment trouver le point d'intersection ?

Quand les droites sont sécantes, on résout le système formé par les deux équations : on égale les expressions de y, on trouve x, puis y.

Comment savoir si deux droites sont sécantes ?

On compare leurs coefficients directeurs : s'ils sont différents, les droites sont sécantes (elles se croisent en un seul point).

Comment trouver le point d'intersection de deux droites ?

On résout le système formé par leurs deux équations : la solution (x ; y) donne les coordonnées du point d'intersection.

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