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Exercices corrigés : Équation de droite — Seconde

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Équation de droite

Niveau: Seconde
Chapitre: Équation de droite
Nombre d'exercices: 14 exercices corrigés
Difficulté: Facile à approfondi

Une droite non verticale a une équation $y = m x + p$ y=mx+p, où $m$ m est le coefficient directeur et $p$ p l'ordonnée à l'origine. À partir de deux points (ou d'un point et de la pente), on détermine cette équation. Ces exercices corrigés couvrent la détermination d'équations, l'appartenance d'un point, l'intersection de droites et les problèmes de synthèse. Difficulté croissante, correction d'un clic.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Équation avec coefficient et point

Application directe

Déterminer l'équation de la droite de coefficient directeur $2$ 2 passant par $A (0; 3)$ A(0 ;3).

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Correction détaillée

1
$A (0; 3)$ A(0;3) donne l'ordonnée à l'origine : $p = 3$ p=3.
2
Avec $m = 2$ m=2 : l'équation est $y = 2 x + 3$ y=2x+3.

Réponse :

y = 2 x + 3

y=2x+3.

Rappel de cours : Si la droite passe par un point d'abscisse $0$ 0, son ordonnée donne directement $p$ p.

Exercice 2 — Lire une équation

Application directe

La droite $y = - 3 x + 4$ y=-3x+4 : donner son coefficient directeur et le point où elle coupe l'axe des ordonnées.

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Correction détaillée

1
Coefficient directeur : $m = - 3$ m=-3.
2
Elle coupe l'axe des ordonnées en $p = 4$ p=4, au point $(0; 4)$ (0 ;4).

Réponse :

m = - 3

m=-3 ; coupe l'axe des ordonnées en

(0; 4)

(0 ;4).

Rappel de cours : $y = m x + p$ y=mx+p : $p$ p est l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des $y$ y.

Exercice 3 — Équation par le calcul (point hors axe)

À maîtriser

Déterminer l'équation de la droite de coefficient directeur $2$ 2 passant par $A (1; 5)$ A(1 ;5).

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Correction détaillée

1
$y = 2 x + p$ y=2x+p.
On utilise $A (1; 5)$ A(1;5) : $5 = 2 \times 1 + p$ 5=2× 1+p, donc $p = 3$ p=3.
2
Équation : $y = 2 x + 3$ y=2x+3.

Réponse :

y = 2 x + 3

y=2x+3.

Rappel de cours : On connaît $m$ m, on trouve $p$ p en injectant les coordonnées du point.

Exercice 4 — Équation par deux points

À maîtriser

Déterminer l'équation de la droite passant par $A (1; 1)$ A(1 ;1) et $B (3; 7)$ B(3 ;7).

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Correction détaillée

1
Coefficient directeur : $m = \frac{7 - 1}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ m=(7-1)/(3-1)=6/2=3.
2
$y = 3 x + p$ y=3x+p.
Avec $A (1; 1)$ A(1;1) : $1 = 3 + p$ 1=3+p, donc $p = - 2$ p=-2.
3
Équation : $y = 3 x - 2$ y=3x-2.

Réponse :

y = 3 x - 2

y=3x-2.

Rappel de cours : Méthode : (1) calculer $m$ m avec les deux points, (2) trouver $p$ p avec l'un des points.

Exercice 5 — Appartenance d'un point

À maîtriser

Le point $A (2; 5)$ A(2 ;5) appartient-il à la droite $y = 2 x + 1$ y=2x+1 ?

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Correction détaillée

1
On remplace $x = 2$ x=2 : $2 \times 2 + 1 = 5$ 2× 2+1=5.
2
On obtient $5$ 5, qui est l'ordonnée de $A$ A : oui, $A$ A appartient à la droite.

Réponse : Oui,

A (2; 5)

A(2;5) appartient à la droite.

Rappel de cours : Un point $(a; b)$ (a;b) est sur la droite $y = m x + p$ y=mx+p si $b = ma + p$ b=ma+p.

Exercice 6 — Droite horizontale et verticale

À maîtriser

Donner l'équation de la droite horizontale passant par $(1; 4)$ (1 ;4), puis de la droite verticale passant par $(3; - 2)$ (3 ;-2).

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Correction détaillée

1
Une droite horizontale a une équation $y = constante$ y= constante : ici $y = 4$ y=4.
2
Une droite verticale a une équation $x = constante$ x= constante : ici $x = 3$ x=3.

Réponse : Horizontale :

y = 4

y=4 ; verticale :

x = 3

x=3.

Rappel de cours : Horizontale : $y = k$ y=k (coefficient directeur $0$ 0). Verticale : $x = k$ x=k (pas de coefficient directeur, pas de la forme $y = m x + p$ y=mx+p).

Exercice 7 — Équation avec coefficient négatif

Type contrôle

Déterminer l'équation de la droite passant par $A (- 2; 5)$ A(-2 ;5) et $B (2; - 3)$ B(2 ;-3).

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Correction détaillée

1
$m = \frac{- 3 - 5}{2 - ( - 2 )} = \frac{- 8}{4} = - 2$ m=(-3-5)/(2-(-2))=(-8)/4=-2.
2
$y = - 2 x + p$ y=-2x+p.
Avec $A (- 2; 5)$ A(-2;5) : $5 = - 2 \times (- 2) + p = 4 + p$ 5=-2×(-2)+p=4+p, donc $p = 1$ p=1.
3
Équation : $y = - 2 x + 1$ y=-2x+1.

Réponse :

y = - 2 x + 1

y=-2x+1.

Rappel de cours : Soigner les signes : $- 2 \times (- 2) = + 4$ -2×(-2)=+4.

Exercice 8 — Intersection de deux droites

Type contrôle

Déterminer le point d'intersection de $d_{1} : y = 2 x - 1$ d₁ : y=2x-1 et $d_{2} : y = - x + 5$ d₂ : y=-x+5.

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Correction détaillée

1
Au point d'intersection, les ordonnées sont égales : $2 x - 1 = - x + 5$ 2x-1=-x+5.
2
$3 x = 6$ 3x=6, donc $x = 2$ x=2, puis $y = 2 \times 2 - 1 = 3$ y=2× 2-1=3.

Réponse : Point d'intersection

(2; 3)

(2 ;3).

Rappel de cours : Intersection : on résout $m_{1} x + p_{1} = m_{2} x + p_{2}$ m₁x+p₁=m₂x+p₂, puis on calcule $y$ y.

Exercice 9 — Droite parallèle passant par un point

Type contrôle

Déterminer l'équation de la droite parallèle à $y = 3 x + 1$ y=3x+1 passant par $A (2; 1)$ A(2 ;1).

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Correction détaillée

1
Parallèle $\Rightarrow$ ⇒ même coefficient directeur $m = 3$ m=3 : $y = 3 x + p$ y=3x+p.
2
Avec $A (2; 1)$ A(2;1) : $1 = 3 \times 2 + p = 6 + p$ 1=3× 2+p=6+p, donc $p = - 5$ p=-5.
3
Équation : $y = 3 x - 5$ y=3x-5.

Réponse :

y = 3 x - 5

y=3x-5.

Rappel de cours : Une parallèle garde le même $m$ m ; seul $p$ p change, déterminé par le point imposé.

Exercice 10 — Équation d'une médiane (milieu)

Type contrôle

Soit $A (0; 0)$ A(0 ;0), $B (4; 2)$ B(4 ;2), $C (2; 6)$ C(2 ;6).

Déterminer l'équation de la médiane issue de $A$ A (qui passe par le milieu de $[B C]$ [BC]).

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Correction détaillée

1
Milieu de $[B C]$ [BC] : $M (\frac{4 + 2}{2}; \frac{2 + 6}{2}) = M (3; 4)$ M ((4+2)/2 ;(2+6)/2)=M(3 ;4).
2
La médiane passe par $A (0; 0)$ A(0;0) et $M (3; 4)$ M(3;4) : $m = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}$ m=(4-0)/(3-0)=4/3, et $p = 0$ p=0 (passe par l'origine).
3
Équation : $y = \frac{4}{3} x$ y=4/3 x.

Réponse :

y = \frac{4}{3} x

y=4/3 x.

Rappel de cours : Une médiane joint un sommet au milieu du côté opposé. On calcule d'abord le milieu, puis l'équation par deux points.

Exercice 11 — Système et intersection

Approfondissement / défi

Deux abonnements : $A$ A coûte $y = 0, 5 x + 10$ y=0,5x+10 et $B$ B coûte $y = x + 4$ y=x+4 ( $x$ x = nombre d'unités).

Déterminer pour quel nombre d'unités les deux coûtent pareil, et le coût correspondant.

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Correction détaillée

1
On résout $0, 5 x + 10 = x + 4$ 0,5x+10=x+4, soit $10 - 4 = x - 0, 5 x$ 10-4=x-0,5x, donc $6 = 0, 5 x$ 6=0,5x et $x = 12$ x=12.
2
Coût : $y = 12 + 4 = 16$ y=12+4=16 €.
Les deux abonnements coûtent $16$ 16 € pour $12$ 12 unités.

Réponse : Pour

12

12 unités, coût identique de

16

16 €.

Rappel de cours : « Même coût » = intersection des deux droites : on égalise les deux expressions.

Exercice 12 — Déterminer une droite par conditions

Approfondissement / défi

Déterminer l'équation de la droite qui coupe l'axe des ordonnées en $(0; - 2)$ (0 ;-2) et passe par $(3; 4)$ (3 ;4).

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Correction détaillée

1
Ordonnée à l'origine : $p = - 2$ p=-2.
$y = m x - 2$ y=mx-2.
2
Passe par $(3; 4)$ (3;4) : $4 = 3 m - 2$ 4=3m-2, donc $3 m = 6$ 3m=6 et $m = 2$ m=2.
3
Équation : $y = 2 x - 2$ y=2x-2.

Réponse :

y = 2 x - 2

y=2x-2.

Rappel de cours : Le point sur l'axe des ordonnées donne $p$ p directement ; l'autre point donne $m$ m.

Exercice 13 — Appartenance avec paramètre

Approfondissement / défi

Pour quelle valeur de $a$ a le point $A (a; 7)$ A(a ;7) appartient-il à la droite $y = 3 x - 2$ y=3x-2 ?

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Correction détaillée

1
$A$ A est sur la droite si $7 = 3 a - 2$ 7=3a-2.
2
$3 a = 9$ 3a=9, donc $a = 3$ a=3.

Réponse :

a = 3

a=3.

Rappel de cours : On remplace les coordonnées du point dans l'équation et on résout en l'inconnue.

Exercice 14 — Droites concourantes

Approfondissement / défi

Les droites $d_{1} : y = x + 1$ d₁ : y=x+1, $d_{2} : y = - x + 5$ d₂ : y=-x+5 se coupent en un point $I$ I.

La droite $d_{3} : y = 2 x + k$ d₃ : y=2x+k passe-t-elle par $I$ I si $k = - 3$ k=-3 ?

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Correction détaillée

1
Intersection de $d_{1}$ d₁ et $d_{2}$ d₂ : $x + 1 = - x + 5$ x+1=-x+5, soit $2 x = 4$ 2x=4, $x = 2$ x=2, puis $y = 3$ y=3.
Donc $I (2; 3)$ I(2;3).
2
On teste $d_{3}$ d₃ avec $k = - 3$ k=-3 : $y = 2 \times 2 - 3 = 1 \neq = 3$ y=2× 2-3=1≠ 3.
3
$d_{3}$ d₃ ne passe pas par $I$ I : les trois droites ne sont pas concourantes avec $k = - 3$ k=-3.

Réponse : Non :

d_{3}

d₃ donne

y = 1

y=1 en

x = 2

x=2, pas

3

Rappel de cours : Trois droites sont concourantes si elles passent par un même point. On trouve l'intersection de deux, puis on teste la troisième.

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