Exercices corrigés : Équation de droite — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   $A(0;3)$A(0;3) donne l'ordonnée à l'origine : $p=3$p=3.

2. 2

   Avec $m=2$m=2 : l'équation est $y=2x+3$y=2x+3.

Rappel de cours : Si la droite passe par un point d'abscisse $0$0, son ordonnée donne directement $p$p.

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1. 1

   Coefficient directeur : $m=-3$m=-3.

2. 2

   Elle coupe l'axe des ordonnées en $p=4$p=4, au point $(0;4)$(0 ;4).

Rappel de cours : $y=mx+p$y=mx+p : $p$p est l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des $y$y.

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1. 1

   Équation réduite $y=mx+p$y=mx+p avec $m=-\frac{1}{2}$m=-1/2 et $p=4$p=4 : $y=-\frac{1}{2}x+4$y=-1/2x+4.

2. 2

   Pour $x=2$x=2 : $-\frac{1}{2}\times 2+4=-1+4=3$-1/2× 2+4=-1+4=3, qui est bien l'ordonnée de $E$E.

   $E$E appartient à la droite.

Rappel de cours : $p$p est l'ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

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1. 1

   $y=2x+p$y=2x+p.

   On utilise $A(1;5)$A(1;5) : $5=2\times 1+p$5=2× 1+p, donc $p=3$p=3.

2. 2

   Équation : $y=2x+3$y=2x+3.

Rappel de cours : On connaît $m$m, on trouve $p$p en injectant les coordonnées du point.

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1. 1

   Coefficient directeur : $m=\frac{7-1}{3-1}=\frac{6}{2}=3$m=(7-1)/(3-1)=6/2=3.

2. 2

   $y=3x+p$y=3x+p.

   Avec $A(1;1)$A(1;1) : $1=3+p$1=3+p, donc $p=-2$p=-2.

3. 3

   Équation : $y=3x-2$y=3x-2.

Rappel de cours : Méthode : (1) calculer $m$m avec les deux points, (2) trouver $p$p avec l'un des points.

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1. 1

   On remplace $x=2$x=2 : $2\times 2+1=5$2× 2+1=5.

2. 2

   On obtient $5$5, qui est l'ordonnée de $A$A : oui, $A$A appartient à la droite.

Rappel de cours : Un point $(a;b)$(a;b) est sur la droite $y=mx+p$y=mx+p si $b=ma+p$b=ma+p.

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1. 1

   Une droite horizontale a une équation $y=\text{constante}$y= constante : ici $y=4$y=4.

2. 2

   Une droite verticale a une équation $x=\text{constante}$x= constante : ici $x=3$x=3.

Rappel de cours : Horizontale : $y=k$y=k (coefficient directeur $0$0). Verticale : $x=k$x=k (pas de coefficient directeur, pas de la forme $y=mx+p$y=mx+p).

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1. 1

   $m=\frac{4-2}{3-(-1)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$m=(4-2)/(3-(-1))=2/4=1/2.

2. 2

   $A$A est sur la droite : $2=\frac{1}{2}\times (-1)+p$2=1/2×(-1)+p, donc $p=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$p=2+1/2=5/2.

3. 3

   Équation : $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$y=1/2x+5/2.

   Vérification avec $B$B : $\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$3/2+5/2=4.

Rappel de cours : Méthode : calculer $m$m, puis trouver $p$p en remplaçant les coordonnées d'un point, puis vérifier avec l'autre point.

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1. 1

   On isole $y$y : $3y=-2x+6$3y=-2x+6, donc $y=-\frac{2}{3}x+2$y=-2/3x+2.

2. 2

   Coefficient directeur $m=-\frac{2}{3}$m=-2/3, ordonnée à l'origine $2$2.

3. 3

   Pour une équation $ax+by+c=0$ax+by+c=0, un vecteur directeur est $\vec{u}(-b;a)=(-3;2)$vecteur u (-b ;a)=(-3 ;2).

   Cohérence : $\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}=m$2/(-3)=-2/3=m.

Rappel de cours : $ax+by+c=0$ax+by+c=0 admet $\vec{u}(-b;a)$vecteur u (-b ;a) pour vecteur directeur ; si $b\ne 0$b≠ 0, $m=-\frac{a}{b}$m=-a/b.

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1. 1

   $m=\frac{-3-5}{2-(-2)}=\frac{-8}{4}=-2$m=(-3-5)/(2-(-2))=(-8)/4=-2.

2. 2

   $y=-2x+p$y=-2x+p.

   Avec $A(-2;5)$A(-2;5) : $5=-2\times (-2)+p=4+p$5=-2×(-2)+p=4+p, donc $p=1$p=1.

3. 3

   Équation : $y=-2x+1$y=-2x+1.

Rappel de cours : Soigner les signes : $-2\times (-2)=+4$-2×(-2)=+4.

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1. 1

   Au point d'intersection, les ordonnées sont égales : $2x-1=-x+5$2x-1=-x+5.

2. 2

   $3x=6$3x=6, donc $x=2$x=2, puis $y=2\times 2-1=3$y=2× 2-1=3.

Rappel de cours : Intersection : on résout $m_{1}x+p_1=m_{2}x+p_2$m₁x+p₁=m₂x+p₂, puis on calcule $y$y.

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1. 1

   Parallèle $\Rightarrow$⇒ même coefficient directeur $m=3$m=3 : $y=3x+p$y=3x+p.

2. 2

   Avec $A(2;1)$A(2;1) : $1=3\times 2+p=6+p$1=3× 2+p=6+p, donc $p=-5$p=-5.

3. 3

   Équation : $y=3x-5$y=3x-5.

Rappel de cours : Une parallèle garde le même $m$m ; seul $p$p change, déterminé par le point imposé.

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1. 1

   Milieu de $[BC]$[BC] : $M\left(\frac{4+2}{2};\frac{2+6}{2}\right)=M(3;4)$M ((4+2)/2 ;(2+6)/2)=M(3 ;4).

2. 2

   La médiane passe par $A(0;0)$A(0;0) et $M(3;4)$M(3;4) : $m=\frac{4-0}{3-0}=\frac{4}{3}$m=(4-0)/(3-0)=4/3, et $p=0$p=0 (passe par l'origine).

3. 3

   Équation : $y=\frac{4}{3}x$y=4/3 x.

Rappel de cours : Une médiane joint un sommet au milieu du côté opposé. On calcule d'abord le milieu, puis l'équation par deux points.

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1. 1

   Axe des ordonnées ($x=0$x=0) : $y=6$y=6, point $(0;6)$(0 ;6).

2. 2

   Axe des abscisses ($y=0$y=0) : $-3x+6=0⟺x=2$-3x+6=0⇔ x=2, point $(2;0)$(2 ;0).

3. 3

   Le triangle formé avec l'origine est rectangle en $O$O, de côtés $2$2 et $6$6 : aire $=\frac{2\times 6}{2}=6$=(2× 6)/2=6 unités d'aire.

Rappel de cours : Intersection avec $(Ox)$(Ox) : on pose $y=0$y=0. Avec $(Oy)$(Oy) : on pose $x=0$x=0.

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1. 1

   $I\left(\frac{1+5}{2};\frac{3+(-1)}{2}\right)=(3;1)$I((1+5)/2 ;(3+(-1))/2)=(3 ;1).

2. 2

   Parallèle à $d$d : même coefficient directeur $m=2$m=2, donc $y=2x+p$y=2x+p.

3. 3

   $I$I est sur la droite : $1=2\times 3+p$1=2× 3+p, donc $p=-5$p=-5.

Rappel de cours : Droites parallèles $⟺$⇔ même coefficient directeur ; on trouve ensuite $p$p avec un point.

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1. 1

   On résout $0,5x+10=x+4$0,5x+10=x+4, soit $10-4=x-0,5x$10-4=x-0,5x, donc $6=0,5x$6=0,5x et $x=12$x=12.

2. 2

   Coût : $y=12+4=16$y=12+4=16 €.

   Les deux abonnements coûtent $16$16 € pour $12$12 unités.

Rappel de cours : « Même coût » = intersection des deux droites : on égalise les deux expressions.

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1. 1

   Ordonnée à l'origine : $p=-2$p=-2.

   $y=mx-2$y=mx-2.

2. 2

   Passe par $(3;4)$(3;4) : $4=3m-2$4=3m-2, donc $3m=6$3m=6 et $m=2$m=2.

3. 3

   Équation : $y=2x-2$y=2x-2.

Rappel de cours : Le point sur l'axe des ordonnées donne $p$p directement ; l'autre point donne $m$m.

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1. 1

   $A$A est sur la droite si $7=3a-2$7=3a-2.

2. 2

   $3a=9$3a=9, donc $a=3$a=3.

Rappel de cours : On remplace les coordonnées du point dans l'équation et on résout en l'inconnue.

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1. 1

   Intersection de $d_1$d₁ et $d_2$d₂ : $x+1=-x+5$x+1=-x+5, soit $2x=4$2x=4, $x=2$x=2, puis $y=3$y=3.

   Donc $I(2;3)$I(2;3).

2. 2

   On teste $d_3$d₃ avec $k=-3$k=-3 : $y=2\times 2-3=1\ne 3$y=2× 2-3=1≠ 3.

3. 3

   $d_3$d₃ ne passe pas par $I$I : les trois droites ne sont pas concourantes avec $k=-3$k=-3.

Rappel de cours : Trois droites sont concourantes si elles passent par un même point. On trouve l'intersection de deux, puis on teste la troisième.

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1. 1

   $(AB)$(AB) : $m=\frac{5-1}{2-0}=2$m=(5-1)/(2-0)=2 et passe par $(0;1)$(0 ;1), donc $y=2x+1$y=2x+1.

2. 2

   $(CD)$(CD) : $m=\frac{1-7}{3-0}=-2$m=(1-7)/(3-0)=-2 et passe par $(0;7)$(0 ;7), donc $y=-2x+7$y=-2x+7.

3. 3

   Les coefficients directeurs sont différents ($2\ne -2$2≠ -2) : les droites sont sécantes.

4. 4

   Intersection : $2x+1=-2x+7⟺4x=6⟺x=1,5$2x+1=-2x+7⇔ 4x=6⇔ x=1,5, puis $y=2\times 1,5+1=4$y=2× 1,5+1=4.

5. 5

   Vérification dans $(CD)$(CD) : $-3+7=4$-3+7=4.

Rappel de cours : Les coordonnées du point d'intersection vérifient les deux équations : on égale les deux expressions de $y$y.