Exercices corrigés : Distance et milieu — Seconde

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1. 1

   $AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$AB=√((4-1)²+(6-2)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√(25)=5.

Rappel de cours : Distance : $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$AB=√((x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²) (Pythagore dans le repère).

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1. 1

   $I\left(\frac{2+8}{2};\frac{3+5}{2}\right)=I(5;4)$I ((2+8)/2 ;(3+5)/2)=I(5 ;4).

Rappel de cours : Milieu : moyenne des coordonnées, $I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$I ((x_A+x_B)/2;(y_A+y_B)/2).

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1. 1

   $OM=\sqrt{(x_M-0{)}^2+(y_M-0{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$OM=√((x_M-0)²+(y_M-0)²)=√(36+64)=√(100)=10.

Rappel de cours : $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$AB=√((x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²), valable dans un repère orthonormé.

Erreur fréquente : $(-6{)}^2=36$(-6)²=36 : un carré est positif.

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1. 1

   $AB=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(-2-2{)}^2}=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$AB=√((2-(-1))²+(-2-2)²)=√(3²+(-4)²)=√(9+16)=5.

Rappel de cours : Les carrés rendent le signe sans importance, mais soigner $(2-(-1))=3$(2-(-1))=3.

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1. 1

   $I\left(\frac{-3+5}{2};\frac{4+(-2)}{2}\right)=I(1;1)$I ((-3+5)/2 ;(4+(-2))/2)=I(1 ;1).

Rappel de cours : Moyenne des coordonnées, même avec des négatifs.

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1. 1

   $AB=\sqrt{(3-1{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$AB=√((3-1)²+(4-1)²)=√(4+9)=√(13).

Rappel de cours : La distance peut être une racine non simplifiable : on laisse $\sqrt{13}$√(13).

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1. 1

   $x_I=\frac{x_A+x_B}{2}$x_I=(x_A+x_B)/2, donc $x_B=2x_I-x_A=4-(-3)=7$x_B=2x_I-x_A=4-(-3)=7.

2. 2

   $y_B=2y_I-y_A=-2-4=-6$y_B=2y_I-y_A=-2-4=-6.

3. 3

   Vérification : $\left(\frac{-3+7}{2};\frac{4-6}{2}\right)=(2;-1)$((-3+7)/2 ;(4-6)/2)=(2 ;-1).

Rappel de cours : $B$B est le symétrique de $A$A par rapport à $I$I : $x_B=2x_I-x_A$x_B=2x_I-x_A, $y_B=2y_I-y_A$y_B=2y_I-y_A.

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1. 1

   $\Omega P=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$Ω P=√(3²+4²)=√(25)=5 : $P$P est sur le cercle.

2. 2

   $\Omega Q=\sqrt{(-3{)}^2+5^2}=\sqrt{34}\approx 5,83>5$Ω Q=√((-3)²+5²)=√(34)≈ 5,83>5 : $Q$Q est à l'extérieur.

Rappel de cours : On compare la distance au centre avec le rayon. Pour éviter les racines, on peut comparer les carrés ($34>25$34>25).

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1. 1

   $CA=\sqrt{(0-2{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$CA=√((0-2)²+(0-3)²)=√(4+9)=√(13).

2. 2

   $CB=\sqrt{(4-2{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$CB=√((4-2)²+(0-3)²)=√(4+9)=√(13).

3. 3

   $CA=CB$CA=CB : le triangle est isocèle en $C$C.

Rappel de cours : Isocèle en $C$C $⟺CA=CB$⇔ CA=CB : on calcule et compare les deux longueurs.

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1. 1

   $AB=3$AB=3, $AC=4$AC=4, $BC=\sqrt{(3-0{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$BC=√((3-0)²+(0-4)²)=√(9+16)=5.

2. 2

   On teste Pythagore : $A{B}^2+A{C}^2=9+16=25=B{C}^2$AB²+AC²=9+16=25=BC².

3. 3

   L'égalité de Pythagore est vérifiée : le triangle est rectangle en $A$A.

Rappel de cours : On calcule les trois longueurs, puis on teste la réciproque de Pythagore.

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1. 1

   Centre = milieu de $[AB]$[AB] : $\Omega \left(\frac{1+7}{2};\frac{2+10}{2}\right)=\Omega (4;6)$Ω ((1+7)/2 ;(2+10)/2)=Ω(4 ;6).

2. 2

   Rayon = moitié du diamètre.

   $AB=\sqrt{(7-1{)}^2+(10-2{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$AB=√((7-1)²+(10-2)²)=√(36+64)=√(100)=10, donc $r=5$r=5.

Rappel de cours : Le centre d'un cercle de diamètre $[AB]$[AB] est le milieu de $[AB]$[AB] ; le rayon vaut $\frac{AB}{2}$AB/2.

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1. 1

   Milieu de $[AC]$[AC] : $\left(\frac{1+6}{2};\frac{1+5}{2}\right)=(3,5;3)$((1+6)/2 ;(1+5)/2)=(3,5 ;3).

2. 2

   Milieu de $[BD]$[BD] : $\left(\frac{5+2}{2};\frac{2+4}{2}\right)=(3,5;3)$((5+2)/2 ;(2+4)/2)=(3,5 ;3).

3. 3

   Les diagonales ont le même milieu : $ABCD$ABCD est un parallélogramme.

Rappel de cours : Un quadrilatère est un parallélogramme $⟺$⇔ ses diagonales se coupent en leur milieu.

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1. 1

   On calcule les carrés des longueurs : $A{B}^2=4^2+2^2=20$AB²=4²+2²=20, $B{C}^2=(-2{)}^2+4^2=20$BC²=(-2)²+4²=20, $A{C}^2=2^2+6^2=40$AC²=2²+6²=40.

2. 2

   $AB=BC$AB=BC : le triangle est isocèle en $B$B.

3. 3

   $A{B}^2+B{C}^2=40=A{C}^2$AB²+BC²=40=AC² : d'après la réciproque de Pythagore, il est rectangle en $B$B.

Rappel de cours : Travailler avec les carrés des distances évite les racines et rend la réciproque de Pythagore immédiate.

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1. 1

   On veut $MA=MB$MA=MB, donc $M{A}^2=M{B}^2$MA²=MB².

2. 2

   $(x-1{)}^2+(0-2{)}^2=(x-5{)}^2+(0-4{)}^2$(x-1)²+(0-2)²=(x-5)²+(0-4)², soit $x^2-2x+1+4=x^2-10x+25+16$x²-2x+1+4=x²-10x+25+16.

3. 3

   $-2x+5=-10x+41$-2x+5=-10x+41, donc $8x=36$8x=36 et $x=4,5$x=4,5.

Rappel de cours : Équidistant : $MA=MB$MA=MB, qu'on traduit par $M{A}^2=M{B}^2$MA²=MB² (les carrés évitent les racines).

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1. 1

   Côtés : $AB=4$AB=4, $BC=4$BC=4, $CD=4$CD=4, $DA=4$DA=4 : tous égaux (losange).

2. 2

   Diagonales : $AC=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$AC=√(16+16)=√(32) et $BD=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}$BD=√(16+16)=√(32) : diagonales égales.

3. 3

   Quatre côtés égaux + diagonales égales $\Rightarrow$⇒ carré.

Rappel de cours : Carré : 4 côtés égaux (losange) ET diagonales de même longueur (rectangle).

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1. 1

   $I$I est le milieu de $[A{A}^{\prime }]$[AA'] : $\left(\frac{1+x_{A^{\prime }}}{2};\frac{3+y_{A^{\prime }}}{2}\right)=(4;5)$((1+x_A')/2 ;(3+y_A')/2)=(4 ;5).

2. 2

   $\frac{1+x_{A^{\prime }}}{2}=4\Rightarrow x_{A^{\prime }}=7$(1+x_A')/2=4 ⇒ x_A'=7 ; $\frac{3+y_{A^{\prime }}}{2}=5\Rightarrow y_{A^{\prime }}=7$(3+y_A')/2=5 ⇒ y_A'=7.

Rappel de cours : Le symétrique de $A$A par rapport à $I$I vérifie : $I$I milieu de $[A{A}^{\prime }]$[AA'].

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1. 1

   La médiatrice est l'ensemble des points équidistants de $A$A et $B$B.

   On compare $MA$MA et $MB$MB.

2. 2

   $MA=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$MA=√(9+1)=√(10) ; $MB=\sqrt{(3-4{)}^2+(-1-2{)}^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$MB=√((3-4)²+(-1-2)²)=√(1+9)=√(10).

3. 3

   $MA=MB$MA=MB : $M$M est sur la médiatrice de $[AB]$[AB].

Rappel de cours : La médiatrice de $[AB]$[AB] est l'ensemble des points équidistants de $A$A et $B$B.

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1. 1

   $AB=3$AB=3 ; $BC=\sqrt{0+16}=4$BC=√(0+16)=4 ; $CA=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$CA=√(9+16)=√(25)=5.

2. 2

   Périmètre : $AB+BC+CA=3+4+5=12$AB+BC+CA=3+4+5=12.

Rappel de cours : Le périmètre est la somme des trois longueurs des côtés.

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1. 1

   Milieu de $[AC]$[AC] : $(3;2)$(3 ;2).

   Milieu de $[BD]$[BD] : $(3;2)$(3 ;2).

   Les diagonales ont le même milieu : $ABCD$ABCD est un parallélogramme.

2. 2

   $A{B}^2=9+4=13$AB²=9+4=13 et $A{D}^2=9+4=13$AD²=9+4=13 : deux côtés consécutifs sont égaux, c'est donc un losange.

3. 3

   Diagonales : $AC=6$AC=6 et $BD=4$BD=4.

   Un carré a des diagonales de même longueur ; ici $6\ne 4$6≠ 4, ce n'est pas un carré.

Rappel de cours : Un parallélogramme est un losange s'il a deux côtés consécutifs égaux, un rectangle si ses diagonales sont égales, un carré s'il est les deux.

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1. 1

   1) $[AB]$[AB] est horizontal (même ordonnée) et $[AC]$[AC] vertical (même abscisse) : dans un repère orthonormé, ils sont perpendiculaires. (Ou : $A{B}^2+A{C}^2=36+64=100=B{C}^2$AB²+AC²=36+64=100=BC².)

2. 2

   2) Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse.

   Centre : milieu de $[BC]$[BC], $K(4;5)$K(4 ;5).

   Rayon : $\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5$BC/2=10/2=5.

3. 3

   3) $KA=\sqrt{3^2+4^2}=5$KA=√(3²+4²)=5 : $A$A est bien sur le cercle.

Rappel de cours : Un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est rectangle, et réciproquement.