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Exercices corrigés : Distance et milieu — Seconde

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Distance et milieu

Niveau: Seconde
Chapitre: Distance et milieu
Nombre d'exercices: 14 exercices corrigés
Difficulté: Facile à approfondi

Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points est $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ AB=√((x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²), et le milieu de $[A B]$ [AB] a pour coordonnées la moyenne de celles de $A$ A et $B$ B. Ces exercices corrigés couvrent calcul de longueurs, milieux, nature de triangles et cercles. Difficulté croissante, correction d'un clic.

Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée avec rappels de cours et erreurs fréquentes à éviter.

Exercice 1 — Calculer une distance

Application directe

Soit $A (1; 2)$ A(1 ;2) et $B (4; 6)$ B(4 ;6).

Calculer $A B$ AB.

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Correction détaillée

1
$A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ AB=√((4-1)²+(6-2)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√(25)=5.

Réponse :

A B = 5

AB=5.

Rappel de cours : Distance : $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ AB=√((x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²) (Pythagore dans le repère).

Exercice 2 — Coordonnées d'un milieu

Application directe

Soit $A (2; 3)$ A(2 ;3) et $B (8; 5)$ B(8 ;5).

Déterminer le milieu $I$ I de $[A B]$ [AB].

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Correction détaillée

1
$I (\frac{2 + 8}{2}; \frac{3 + 5}{2}) = I (5; 4)$ I ((2+8)/2 ;(3+5)/2)=I(5 ;4).

Réponse :

I (5; 4)

I(5 ;4).

Rappel de cours : Milieu : moyenne des coordonnées, $I (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ I ((x_A+x_B)/2;(y_A+y_B)/2).

Exercice 3 — Distance avec négatifs

À maîtriser

Soit $A (- 1; 2)$ A(-1 ;2) et $B (2; - 2)$ B(2 ;-2).

Calculer $A B$ AB.

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Correction détaillée

1
$A B = (2 - (- 1))^{2} + (- 2 - 2)^{2} = 3^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 5$ AB=√((2-(-1))²+(-2-2)²)=√(3²+(-4)²)=√(9+16)=5.

Réponse :

A B = 5

AB=5.

Rappel de cours : Les carrés rendent le signe sans importance, mais soigner $(2 - (- 1)) = 3$ (2-(-1))=3.

Exercice 4 — Milieu avec négatifs

À maîtriser

Soit $A (- 3; 4)$ A(-3 ;4) et $B (5; - 2)$ B(5 ;-2).

Déterminer le milieu de $[A B]$ [AB].

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Correction détaillée

1
$I (\frac{- 3 + 5}{2}; \frac{4 + ( - 2 )}{2}) = I (1; 1)$ I ((-3+5)/2 ;(4+(-2))/2)=I(1 ;1).

Réponse :

I (1; 1)

I(1 ;1).

Rappel de cours : Moyenne des coordonnées, même avec des négatifs.

Exercice 5 — Distance non entière

À maîtriser

Soit $A (1; 1)$ A(1 ;1) et $B (3; 4)$ B(3 ;4).

Calculer $A B$ AB (valeur exacte).

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Correction détaillée

1
$A B = (3 - 1)^{2} + (4 - 1)^{2} = 4 + 9 = 13$ AB=√((3-1)²+(4-1)²)=√(4+9)=√(13).

Réponse :

A B = 13 \approx 3, 61

AB=√(13)≈ 3,61.

Rappel de cours : La distance peut être une racine non simplifiable : on laisse $13$ √(13).

Exercice 6 — Triangle isocèle

Type contrôle

Soit $A (0; 0)$ A(0 ;0), $B (4; 0)$ B(4 ;0), $C (2; 3)$ C(2 ;3).

Montrer que le triangle $A B C$ ABC est isocèle en $C$ C.

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Correction détaillée

1
$C A = (0 - 2)^{2} + (0 - 3)^{2} = 4 + 9 = 13$ CA=√((0-2)²+(0-3)²)=√(4+9)=√(13).
2
$C B = (4 - 2)^{2} + (0 - 3)^{2} = 4 + 9 = 13$ CB=√((4-2)²+(0-3)²)=√(4+9)=√(13).
3
$C A = C B$ CA=CB : le triangle est isocèle en $C$ C.

Réponse :

C A = C B = 13

CA=CB=√(13) : isocèle en

C

Rappel de cours : Isocèle en $C$ C $⟺ C A = C B$ ⇔ CA=CB : on calcule et compare les deux longueurs.

Exercice 7 — Triangle rectangle (Pythagore)

Type contrôle

Soit $A (0; 0)$ A(0 ;0), $B (3; 0)$ B(3 ;0), $C (0; 4)$ C(0 ;4).

Montrer que le triangle $A B C$ ABC est rectangle en $A$ A.

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Correction détaillée

1
$A B = 3$ AB=3, $A C = 4$ AC=4, $B C = (3 - 0)^{2} + (0 - 4)^{2} = 9 + 16 = 5$ BC=√((3-0)²+(0-4)²)=√(9+16)=5.
2
On teste Pythagore : $A B^{2} + A C^{2} = 9 + 16 = 25 = B C^{2}$ AB²+AC²=9+16=25=BC².
3
L'égalité de Pythagore est vérifiée : le triangle est rectangle en $A$ A.

Réponse :

A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}

AB²+AC²=BC² : rectangle en

A

Rappel de cours : On calcule les trois longueurs, puis on teste la réciproque de Pythagore.

Exercice 8 — Centre et rayon d'un cercle

Type contrôle

Un cercle a pour diamètre $[A B]$ [AB] avec $A (1; 2)$ A(1 ;2) et $B (7; 10)$ B(7 ;10).

Déterminer son centre et son rayon.

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Correction détaillée

1
Centre = milieu de $[A B]$ [AB] : $Ω (\frac{1 + 7}{2}; \frac{2 + 10}{2}) = Ω (4; 6)$ Ω ((1+7)/2 ;(2+10)/2)=Ω(4 ;6).
2
Rayon = moitié du diamètre.
$A B = (7 - 1)^{2} + (10 - 2)^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ AB=√((7-1)²+(10-2)²)=√(36+64)=√(100)=10, donc $r = 5$ r=5.

Réponse : Centre

Ω (4; 6)

Ω(4 ;6), rayon

5

Rappel de cours : Le centre d'un cercle de diamètre $[A B]$ [AB] est le milieu de $[A B]$ [AB] ; le rayon vaut $\frac{A B}{2}$ AB/2.

Exercice 9 — Parallélogramme par les milieux

Type contrôle

Soit $A (1; 1)$ A(1 ;1), $B (5; 2)$ B(5 ;2), $C (6; 5)$ C(6 ;5), $D (2; 4)$ D(2 ;4).

Montrer que $A B C D$ ABCD est un parallélogramme (diagonales).

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Correction détaillée

1
Milieu de $[A C]$ [AC] : $(\frac{1 + 6}{2}; \frac{1 + 5}{2}) = (3, 5; 3)$ ((1+6)/2 ;(1+5)/2)=(3,5 ;3).
2
Milieu de $[B D]$ [BD] : $(\frac{5 + 2}{2}; \frac{2 + 4}{2}) = (3, 5; 3)$ ((5+2)/2 ;(2+4)/2)=(3,5 ;3).
3
Les diagonales ont le même milieu : $A B C D$ ABCD est un parallélogramme.

Réponse : Mêmes milieux des diagonales :

A B C D

ABCD est un parallélogramme.

Rappel de cours : Un quadrilatère est un parallélogramme $⟺$ ⇔ ses diagonales se coupent en leur milieu.

Exercice 10 — Point équidistant

Approfondissement / défi

Déterminer l'abscisse $x$ x du point $M (x; 0)$ M(x ;0) de l'axe des abscisses équidistant de $A (1; 2)$ A(1 ;2) et $B (5; 4)$ B(5 ;4).

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Correction détaillée

1
On veut $M A = M B$ MA=MB, donc $M A^{2} = M B^{2}$ MA²=MB².
2
$(x - 1)^{2} + (0 - 2)^{2} = (x - 5)^{2} + (0 - 4)^{2}$ (x-1)²+(0-2)²=(x-5)²+(0-4)², soit $x^{2} - 2 x + 1 + 4 = x^{2} - 10 x + 25 + 16$ x²-2x+1+4=x²-10x+25+16.
3
$- 2 x + 5 = - 10 x + 41$ -2x+5=-10x+41, donc $8 x = 36$ 8x=36 et $x = 4, 5$ x=4,5.

Réponse :

M (4, 5; 0)

M(4,5 ;0).

Rappel de cours : Équidistant : $M A = M B$ MA=MB, qu'on traduit par $M A^{2} = M B^{2}$ MA²=MB² (les carrés évitent les racines).

Exercice 11 — Nature d'un quadrilatère

Approfondissement / défi

Soit $A (0; 0)$ A(0 ;0), $B (4; 0)$ B(4 ;0), $C (4; 4)$ C(4 ;4), $D (0; 4)$ D(0 ;4).

Montrer que $A B C D$ ABCD est un carré.

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Correction détaillée

1
Côtés : $A B = 4$ AB=4, $B C = 4$ BC=4, $C D = 4$ CD=4, $D A = 4$ DA=4 : tous égaux (losange).
2
Diagonales : $A C = 16 + 16 = 32$ AC=√(16+16)=√(32) et $B D = 16 + 16 = 32$ BD=√(16+16)=√(32) : diagonales égales.
3
Quatre côtés égaux + diagonales égales $\Rightarrow$ ⇒ carré.

Réponse : Côtés égaux et diagonales égales :

A B C D

ABCD est un carré.

Rappel de cours : Carré : 4 côtés égaux (losange) ET diagonales de même longueur (rectangle).

Exercice 12 — Symétrique d'un point

Approfondissement / défi

Déterminer le symétrique $A^{'}$ A' de $A (1; 3)$ A(1 ;3) par rapport au point $I (4; 5)$ I(4 ;5).

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Correction détaillée

1
$I$ I est le milieu de $[A A^{'}]$ [AA'] : $(\frac{1 + x _{A^{'}}}{2}; \frac{3 + y _{A^{'}}}{2}) = (4; 5)$ ((1+x_A')/2 ;(3+y_A')/2)=(4 ;5).
2
$\frac{1 + x _{A^{'}}}{2} = 4 \Rightarrow x_{A^{'}} = 7$ (1+x_A')/2=4 ⇒ x_A'=7 ; $\frac{3 + y _{A^{'}}}{2} = 5 \Rightarrow y_{A^{'}} = 7$ (3+y_A')/2=5 ⇒ y_A'=7.

Réponse :

A^{'} (7; 7)

A'(7 ;7).

Rappel de cours : Le symétrique de $A$ A par rapport à $I$ I vérifie : $I$ I milieu de $[A A^{'}]$ [AA'].

Exercice 13 — Médiatrice

Approfondissement / défi

Soit $A (0; 0)$ A(0 ;0) et $B (4; 2)$ B(4 ;2).

Le point $M (3; - 1)$ M(3 ;-1) est-il sur la médiatrice de $[A B]$ [AB] ?

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Correction détaillée

1
La médiatrice est l'ensemble des points équidistants de $A$ A et $B$ B.
On compare $M A$ MA et $M B$ MB.
2
$M A = 9 + 1 = 10$ MA=√(9+1)=√(10) ; $M B = (3 - 4)^{2} + (- 1 - 2)^{2} = 1 + 9 = 10$ MB=√((3-4)²+(-1-2)²)=√(1+9)=√(10).
3
$M A = M B$ MA=MB : $M$ M est sur la médiatrice de $[A B]$ [AB].

Réponse : Oui,

M A = M B = 10

MA=MB=√(10) :

M

M est sur la médiatrice.

Rappel de cours : La médiatrice de $[A B]$ [AB] est l'ensemble des points équidistants de $A$ A et $B$ B.

Exercice 14 — Périmètre d'un triangle

Approfondissement / défi

Calculer le périmètre du triangle $A B C$ ABC avec $A (0; 0)$ A(0 ;0), $B (3; 0)$ B(3 ;0), $C (3; 4)$ C(3 ;4).

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Correction détaillée

1
$A B = 3$ AB=3 ; $B C = 0 + 16 = 4$ BC=√(0+16)=4 ; $C A = 9 + 16 = 25 = 5$ CA=√(9+16)=√(25)=5.
2
Périmètre : $A B + B C + C A = 3 + 4 + 5 = 12$ AB+BC+CA=3+4+5=12.

Réponse : Périmètre

= 12

=12.

Rappel de cours : Le périmètre est la somme des trois longueurs des côtés.

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