Exercices types · Seconde

Les vecteurs — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Coordonnées et norme

Niveau 1 · Application directe

Soient

A (1; 2)

A(1 ;2) et

B (4; 6)

B(4 ;6). Déterminer les coordonnées de

A B

vecteur AB puis la distance

A B

AB.

Voir la correction

1.
$A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) = (4 - 1; 6 - 2) = (3; 4)$ vecteur AB (x_B - x_A ; y_B - y_A) = (4 - 1 ; 6 - 2) = (3 ;4).
→ Coordonnées et opérations
2.
$A B = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ AB = √(3² + 4²) = √(25) = 5.
→ Norme d'un vecteur

Réponse :

A B (3; 4)

vecteur AB (3 ;4) et

A B = 5

AB = 5.

Méthode utilisée : $A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ vecteur AB =(x_B-x_A ;y_B-y_A) ; norme $= x^{2} + y^{2}$ =√(x²+y²).

Erreur fréquente : Calculer $A - B$ A-B au lieu de $B - A$ B-A.

Tester la colinéarité

Niveau 2 · Méthode complète

Les vecteurs

u (2; 3)

vecteur u (2 ;3) et

v (4; 6)

vecteur v (4 ;6) sont-ils colinéaires ?

Voir la correction

1.
On calcule le déterminant $x y^{'} - y x^{'}$ x y' - y x' avec $u (2; 3)$ vecteur u (2 ;3) et $v (4; 6)$ vecteur v (4 ;6).
→ Critère de colinéarité
2.
$2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$ 2× 6 - 3× 4 = 12 - 12 = 0.
3.
Le déterminant est nul : $u$ vecteur u et $v$ vecteur v sont colinéaires.

Réponse : Oui, ils sont colinéaires (déterminant nul).

Méthode utilisée : Colinéaires $\Leftrightarrow$ ⇔ déterminant $x y^{'} - x^{'} y = 0$ xy'-x'y=0.

Erreur fréquente : Conclure « non colinéaires » car les coordonnées sont différentes.

Somme et multiple de vecteurs

Niveau 2 · Méthode complète

Soient

u (1; 2)

vecteur u (1 ;2) et

v (3; - 1)

vecteur v (3 ;-1). Calculer les coordonnées de

u + v

vecteur u + vecteur v et de

2 u

2 vecteur u.

Voir la correction

1.
Somme : on additionne les coordonnées. $u + v (1 + 3; 2 + (- 1)) = (4; 1)$ vecteur u + vecteur v (1 + 3 ; 2 + (-1)) = (4 ;1).
→ Coordonnées et opérations
2.
Multiple : on multiplie chaque coordonnée par $2$ 2. $2 u (2 \times 1; 2 \times 2) = (2; 4)$ 2 vecteur u (2× 1 ; 2× 2) = (2 ;4).

Réponse :

u + v (4; 1)

vecteur u + vecteur v (4 ;1) et

2 u (2; 4)

2 vecteur u (2 ;4).

Montrer que des points sont alignés

Niveau 3 · Type contrôle

Soient

A (0; 1)

A(0 ;1),

B (2; 5)

B(2 ;5) et

C (3; 7)

C(3 ;7). Montrer que

A

B

B et

C

C sont alignés.

Voir la correction

1.
On calcule $A B (2 - 0; 5 - 1) = (2; 4)$ vecteur AB (2 - 0 ; 5 - 1) = (2 ;4) et $A C (3 - 0; 7 - 1) = (3; 6)$ vecteur AC (3 - 0 ; 7 - 1) = (3 ;6).
→ Coordonnées et opérations
2.
Déterminant : $2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0$ 2× 6 - 4× 3 = 12 - 12 = 0.
→ Critère de colinéarité
3.
$A B$ vecteur AB et $A C$ vecteur AC sont colinéaires : les points $A$ A, $B$ B, $C$ C sont alignés.

Réponse :

A B

vecteur AB et

A C

vecteur AC colinéaires (déterminant nul) :

A

B

C

C alignés.

Méthode utilisée : $A, B, C$ A,B,C alignés $\Leftrightarrow A B$ ⇔ vecteur AB et $A C$ vecteur AC colinéaires.

Coordonnées d'un vecteur

Niveau 1 · Application directe

Soient

A (2; 1)

A(2 ;1) et

B (5; 3)

B(5 ;3). Donner les coordonnées de

A B

vecteur AB.

Voir la correction

1.
$A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) = (5 - 2; 3 - 1)$ vecteur AB (x_B - x_A ; y_B - y_A) = (5 - 2 ; 3 - 1).
→ Coordonnées et opérations
2.
$A B (3; 2)$ vecteur AB (3 ;2).

Réponse :

A B (3; 2)

vecteur AB (3 ;2).

Norme d'un vecteur

Niveau 2 · Méthode complète

Calculer la norme du vecteur

u (6; 8)

vecteur u (6 ;8).

Voir la correction

1.
$∥ u ∥ = x^{2} + y^{2} = 6^{2} + 8^{2}$ ‖ vecteur u ‖ = √(x² + y²) = √(6² + 8²).
→ Norme d'un vecteur
2.
$= 36 + 64 = 100 = 10$ = √(36 + 64) = √(100) = 10.

Réponse :

∥ u ∥ = 10

‖ vecteur u ‖ = 10.

Distance entre deux points

Niveau 2 · Méthode complète

Calculer la distance

A B

AB avec

A (1; 1)

A(1 ;1) et

B (4; 5)

B(4 ;5).

Voir la correction

1.
$A B (3; 4)$ vecteur AB (3 ;4), et $A B = ∥ A B ∥ = 3^{2} + 4^{2}$ AB = ‖ vecteur AB ‖ = √(3² + 4²).
→ Norme d'un vecteur
2.
$= 9 + 16 = 25 = 5$ = √(9 + 16) = √(25) = 5.

Réponse :

A B = 5

AB = 5.

Somme de deux vecteurs

Niveau 1 · Application directe

Soient

u (2; - 1)

vecteur u (2 ;-1) et

v (1; 4)

vecteur v (1 ;4). Calculer

u + v

vecteur u + vecteur v.

Voir la correction

1.
On additionne les coordonnées : $(2 + 1; - 1 + 4)$ (2 + 1 ; -1 + 4).
→ Coordonnées et opérations
2.
$u + v (3; 3)$ vecteur u + vecteur v (3 ;3).

Réponse :

(3; 3)

(3 ;3).

Multiple d'un vecteur

Niveau 1 · Application directe

Soit

u (2; 1)

vecteur u (2 ;1). Calculer

3 u

3 vecteur u.

Voir la correction

1.
On multiplie chaque coordonnée par $3$ 3.
→ Coordonnées et opérations
2.
$3 u (6; 3)$ 3 vecteur u (6 ;3).

Réponse :

(6; 3)

(6 ;3).

Vecteurs non colinéaires

Niveau 2 · Méthode complète

Les vecteurs

u (1; 2)

vecteur u (1 ;2) et

v (3; 1)

vecteur v (3 ;1) sont-ils colinéaires ?

Voir la correction

1.
Déterminant : $x y^{'} - y x^{'} = 1 \times 1 - 2 \times 3 = 1 - 6 = - 5$ x y' - y x' = 1× 1 - 2× 3 = 1 - 6 = -5.
→ Critère de colinéarité
2.
$- 5 \neq = 0$ -5 ≠ 0 : les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Réponse : Non (déterminant

\neq = 0

≠ 0).

Tout sur vecteurs et géométrie repérée en seconde

Coordonnées, vecteurs, distances, milieux et équations de droites : toute la géométrie analytique de Seconde.

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Tester la colinéarité

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