Notion

L'équation cartésienne d'une droite

Une équation cartésienne d'une droite est une relation de la forme $a x + b y + c = 0$ ax+by+c=0 (avec $a$ a et $b$ b non tous deux nuls) que vérifient les coordonnées $(x; y)$ (x ;y) de tous ses points, et eux seuls. Contrairement à l'équation réduite $y = m x + p$ y=mx+p, l'équation cartésienne peut décrire n'importe quelle droite, y compris les droites verticales $x = c$ x=c. Le vecteur de coordonnées $(a; b)$ (a ;b) est un vecteur normal à la droite, et $(- b; a)$ (-b ;a) un vecteur directeur. On obtient une équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur normal, ou en transformant une équation réduite. Elle est très utilisée pour tester l'appartenance d'un point, l'intersection ou le parallélisme de droites.

Définitions

Équation cartésienne: Toute droite admet une équation de la forme $a x + b y + c = 0$ ax + by + c = 0, où $a$ a et $b$ b ne sont pas tous les deux nuls. Un point appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation.
Vecteur directeur: Pour une droite $a x + b y + c = 0$ ax + by + c = 0, le vecteur $u (- b; a)$ vecteur u (-b ;a) est un vecteur directeur : il indique la direction de la droite.
Forme réduite: Si la droite n'est pas verticale ( $b \neq = 0$ b ≠ 0), on peut l'écrire $y = m x + p$ y = mx + p, où $m$ m est le coefficient directeur (la pente) et $p$ p l'ordonnée à l'origine.

Formules

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Forme générale et vecteur directeur →

a x + b y + c = 0 u (- b; a)

ax + by + c = 0 vecteur u (-b ;a)La forme d'une équation cartésienne et son vecteur directeur.Équation par colinéarité →

M (x; y) \in d ⟺ A M et u colin \overset{e}{ˊ} aires

M(x ;y) ∈ d ⇔ vecteur AM et vecteur u colinéairesConstruire l'équation à partir d'un point et d'une direction.Passage à la forme réduite →

a x + b y + c = 0 \Rightarrow y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b} (b \neq = 0)

ax + by + c = 0 ⇒ y = -a/bx - c/b (b ≠ 0)Convertir une équation cartésienne en y = mx + p.

Méthodes

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Trouver une équation cartésienne →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Équation à partir de deux points

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par

A (1; 2)

A(1 ;2) et

B (3; 8)

B(3 ;8).

Voir la correction

1.
Vecteur directeur : $A B (2; 6)$ vecteur AB (2 ;6).
→ Équation par colinéarité
2.
Colinéarité : $(x - 1) \times 6 - (y - 2) \times 2 = 0$ (x-1)× 6 - (y-2)× 2 = 0, soit $6 x - 2 y - 2 = 0$ 6x - 2y - 2 = 0.
3.
On simplifie par $2$ 2 : $3 x - y - 1 = 0$ 3x - y - 1 = 0 (vérification avec $B$ B : $9 - 8 - 1 = 0$ 9 - 8 - 1 = 0 ✓).

Réponse :

3 x - y - 1 = 0

3x - y - 1 = 0.

Méthode utilisée : On prend $A B$ vecteur AB comme vecteur directeur, puis on écrit $a x + b y + c = 0$ ax+by+c=0.

Équation à partir d'un point et d'une direction

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par

A (1; 2)

A(1 ;2) et de vecteur directeur

u (2; 3)

vecteur u (2 ;3).

Voir la correction

1.
Colinéarité de $A M (x - 1; y - 2)$ vecteur AM (x-1 ;y-2) et $u (2; 3)$ vecteur u (2 ;3) : $(x - 1) \times 3 - (y - 2) \times 2 = 0$ (x-1)× 3 - (y-2)× 2 = 0.
→ Équation par colinéarité
2.
Développement : $3 x - 3 - 2 y + 4 = 0$ 3x - 3 - 2y + 4 = 0.
3.
$3 x - 2 y + 1 = 0$ 3x - 2y + 1 = 0 (vérification avec $A$ A : $3 - 4 + 1 = 0$ 3 - 4 + 1 = 0 ✓).

Réponse :

3 x - 2 y + 1 = 0

3x - 2y + 1 = 0.

Faire les 10 exercices types sur équation cartésienne d'une droite8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi une équation cartésienne, simplement ?

C'est la « carte d'identité » d'une droite : une relation entre x et y vérifiée par tous les points de la droite, et par eux seuls. Elle s'écrit ax + by + c = 0.

Quelle différence avec la forme y = mx + p ?

C'est la même droite, écrite autrement. La forme réduite y = mx + p met en avant la pente m, mais ne marche pas pour les droites verticales. La forme cartésienne ax + by + c = 0 marche pour toutes les droites, y compris les verticales.

Comment savoir si un point est sur la droite ?

On remplace ses coordonnées dans l'équation. Si on obtient 0, le point est sur la droite ; sinon, il n'y est pas. Par exemple C(2 ; 5) dans 3x − y − 1 : 6 − 5 − 1 = 0, donc C est sur la droite.

Comment trouver l'équation d'une droite passant par deux points ?

On calcule le vecteur AB (la direction), puis on écrit que tout point M de la droite donne un vecteur AM aligné avec AB (déterminant nul). En développant, on obtient l'équation ax + by + c = 0.

C'est quoi le vecteur directeur dans l'équation ?

Pour une droite ax + by + c = 0, un vecteur directeur est (−b ; a) : il indique la direction dans laquelle « va » la droite. Il est pratique pour vérifier des parallélismes.

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