Exercices corrigés : Vecteurs du plan — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   Dans un parallélogramme $ABCD$ABCD, les côtés $[AB]$[AB] et $[DC]$[DC] sont parallèles et de même longueur, orientés dans le même sens.

2. 2

   Donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$vecteur AB = vecteur DC.

Rappel de cours : $ABCD$ABCD parallélogramme $⟺\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$⇔ vecteur AB = vecteur DC (côtés opposés, même sens).

Erreur fréquente : Attention à l'ordre des lettres : c'est $\overrightarrow{DC}$vecteur DC, pas $\overrightarrow{CD}$vecteur CD (qui serait le vecteur opposé).

Correction détaillée

1. 1

   Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC (on enchaîne les déplacements).

Rappel de cours : Chasles : le point d'arrivée du premier vecteur est le départ du second ; $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC.

Correction détaillée

1. 1

   $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$vecteur AB + vecteur BA = vecteur AA = vecteur 0 (on revient au point de départ).

2. 2

   L'opposé de $\overrightarrow{AB}$vecteur AB est $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$vecteur BA =- vecteur AB.

Rappel de cours : $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$vecteur BA =- vecteur AB : même direction et longueur, sens opposé.

Correction détaillée

1. 1

   On enchaîne : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC, puis $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$vecteur AC + vecteur CD = vecteur AD.

Rappel de cours : Chasles s'enchaîne : seuls comptent le tout premier départ et le tout dernier arrivée.

Correction détaillée

1. 1

   $I$I milieu de $[AB]$[AB] : $I$I partage le segment en deux parties égales, dans le même sens.

2. 2

   Donc $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$vecteur AI = vecteur IB (et aussi $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$vecteur AI =1/2 vecteur AB).

Rappel de cours : $I$I milieu de $[AB]$[AB] $⟺\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$⇔ vecteur AI = vecteur IB $⟺\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$⇔ vecteur AI =1/2 vecteur AB.

Correction détaillée

1. 1

   $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$vecteur AB = vecteur DC signifie que $[AB]$[AB] et $[DC]$[DC] sont parallèles, de même longueur et même sens.

2. 2

   $ABCD$ABCD est donc un parallélogramme.

Rappel de cours : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}⟺ABCD$vecteur AB = vecteur DC ⇔ ABCD parallélogramme. Vérifier l'ordre des sommets.

Correction détaillée

1. 1

   On insère le point $D$D : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$vecteur AC = vecteur AD + vecteur DC.

Rappel de cours : Chasles « à l'envers » : on peut décomposer un vecteur en insérant un point intermédiaire.

Correction détaillée

1. 1

   $-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}$- vecteur CB = vecteur BC, donc $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$vecteur AB - vecteur CB = vecteur AB + vecteur BC.

2. 2

   Par Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC.

Rappel de cours : Soustraire un vecteur = ajouter son opposé : $-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}$- vecteur CB = vecteur BC.

Erreur fréquente : On transforme $-\overrightarrow{CB}$- vecteur CB en $+\overrightarrow{BC}$+ vecteur BC avant d'appliquer Chasles.

Correction détaillée

1. 1

   $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$vecteur AB = vecteur DC signifie que $ABCD$ABCD est un parallélogramme.

2. 2

   Or, dans un parallélogramme, les diagonales $[AC]$[AC] et $[BD]$[BD] se coupent en leur milieu.

3. 3

   Donc les milieux de $[AC]$[AC] et $[BD]$[BD] coïncident.

Rappel de cours : Propriété : un quadrilatère est un parallélogramme $⟺$⇔ ses diagonales ont le même milieu.

Correction détaillée

1. 1

   $I$I milieu de $[AC]$[AC] : $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IC}$vecteur AI = vecteur IC.

   $I$I milieu de $[BD]$[BD] : $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{ID}$vecteur BI = vecteur ID.

2. 2

   $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$vecteur AB = vecteur AI + vecteur IB et $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IC}$vecteur DC = vecteur DI + vecteur IC.

   Or $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{BI}=-\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{DI}$vecteur IB =- vecteur BI =- vecteur ID = vecteur DI et $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IC}$vecteur AI = vecteur IC.

3. 3

   Donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{DC}$vecteur AB = vecteur IC + vecteur DI = vecteur DI + vecteur IC = vecteur DC.

   $ABCD$ABCD est un parallélogramme.

Rappel de cours : On décompose les vecteurs avec Chasles autour du point commun $I$I, puis on utilise les égalités des milieux.

Correction détaillée

1. 1

   $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$vecteur AD = vecteur AB + vecteur AC : $D$D est le quatrième sommet du parallélogramme construit sur $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{AC}$vecteur AC.

2. 2

   On a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$vecteur AB = vecteur CD (car $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$vecteur AD - vecteur AC = vecteur CD = vecteur AB), donc $ABDC$ABDC est un parallélogramme.

Rappel de cours : La somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$vecteur AB + vecteur AC est la diagonale du parallélogramme de côtés $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{AC}$vecteur AC (règle du parallélogramme).

Correction détaillée

1. 1

   $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$vecteur AC =3 vecteur AB : les vecteurs $\overrightarrow{AC}$vecteur AC et $\overrightarrow{AB}$vecteur AB sont colinéaires (l'un est un multiple de l'autre).

2. 2

   Deux vecteurs colinéaires partageant le point $A$A signifient que $A$A, $B$B, $C$C sont alignés.

Rappel de cours : $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$vecteur AC =k vecteur AB ($k$k réel) $⟺A$⇔ A, $B$B, $C$C alignés.

Correction détaillée

1. 1

   On décompose avec Chasles à partir de $A$A : $\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{AG}$vecteur GA =- vecteur AG, $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AB}$vecteur GB = vecteur GA + vecteur AB =- vecteur AG + vecteur AB, $\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AC}$vecteur GC =- vecteur AG + vecteur AC.

2. 2

   Somme $=\vec{0}$= vecteur 0 : $-\overrightarrow{AG}+(-\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AB})+(-\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AC})=\vec{0}$- vecteur AG +(- vecteur AG + vecteur AB )+(- vecteur AG + vecteur AC )= vecteur 0, soit $-3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}$-3 vecteur AG + vecteur AB + vecteur AC = vecteur 0.

3. 3

   Donc $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$vecteur AG =1/3( vecteur AB + vecteur AC ).

Rappel de cours : Le centre de gravité vérifie $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$vecteur AG =1/3( vecteur AB + vecteur AC ) : on l'obtient en décomposant tout depuis un sommet avec Chasles.

Correction détaillée

1. 1

   $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}$vecteur AB =2 vecteur CD : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{CD}$vecteur CD sont colinéaires.

2. 2

   Deux vecteurs directeurs colinéaires $\Rightarrow$⇒ les droites $(AB)$(AB) et $(CD)$(CD) sont parallèles.

Rappel de cours : Si $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$vecteur AB =k vecteur CD, les droites $(AB)$(AB) et $(CD)$(CD) sont parallèles (ou confondues).