Exercices corrigés : Vecteurs du plan — Seconde

Correction détaillée

1. 1

   Dans un parallélogramme $ABCD$ABCD, les côtés $[AB]$[AB] et $[DC]$[DC] sont parallèles et de même longueur, orientés dans le même sens.

2. 2

   Donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$vecteur AB = vecteur DC.

Rappel de cours : $ABCD$ABCD parallélogramme $⟺\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$⇔ vecteur AB = vecteur DC (côtés opposés, même sens).

Erreur fréquente : Attention à l'ordre des lettres : c'est $\overrightarrow{DC}$vecteur DC, pas $\overrightarrow{CD}$vecteur CD (qui serait le vecteur opposé).

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1. 1

   Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC (on enchaîne les déplacements).

Rappel de cours : Chasles : le point d'arrivée du premier vecteur est le départ du second ; $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC.

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1. 1

   $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$vecteur AB + vecteur BA = vecteur AA = vecteur 0 (on revient au point de départ).

2. 2

   L'opposé de $\overrightarrow{AB}$vecteur AB est $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$vecteur BA =- vecteur AB.

Rappel de cours : $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$vecteur BA =- vecteur AB : même direction et longueur, sens opposé.

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1. 1

   « $D$D est l'image de $A$A par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$vecteur BC » signifie $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$vecteur AD = vecteur BC.

2. 2

   $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$vecteur AD = vecteur BC : les segments $[AD]$[AD] et $[BC]$[BC] sont parallèles, de même longueur et de même sens.

   Le quadrilatère $ABCD$ABCD est donc un parallélogramme (éventuellement aplati si $A$A, $B$B, $C$C sont alignés).

Rappel de cours : L'image de $M$M par la translation de vecteur $\vec{u}$vecteur u est le point $M^{\prime }$M' tel que $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\vec{u}$vecteur MM' = vecteur u.

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1. 1

   On enchaîne : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC, puis $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$vecteur AC + vecteur CD = vecteur AD.

Rappel de cours : Chasles s'enchaîne : seuls comptent le tout premier départ et le tout dernier arrivée.

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1. 1

   $I$I milieu de $[AB]$[AB] : $I$I partage le segment en deux parties égales, dans le même sens.

2. 2

   Donc $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$vecteur AI = vecteur IB (et aussi $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$vecteur AI =1/2 vecteur AB).

Rappel de cours : $I$I milieu de $[AB]$[AB] $⟺\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$⇔ vecteur AI = vecteur IB $⟺\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$⇔ vecteur AI =1/2 vecteur AB.

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1. 1

   $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$vecteur AB = vecteur DC signifie que $[AB]$[AB] et $[DC]$[DC] sont parallèles, de même longueur et même sens.

2. 2

   $ABCD$ABCD est donc un parallélogramme.

Rappel de cours : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}⟺ABCD$vecteur AB = vecteur DC ⇔ ABCD parallélogramme. Vérifier l'ordre des sommets.

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1. 1

   $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$vecteur AD = vecteur BC (parallélogramme), donc $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$vecteur AB + vecteur AD = vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC (Chasles).

2. 2

   $O$O est le milieu de $[AC]$[AC] : $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{OA}$vecteur OC = vecteur AO =- vecteur OA, donc $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$vecteur OA + vecteur OC = vecteur 0.

3. 3

   $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$vecteur AB - vecteur AD = vecteur AB + vecteur DA = vecteur DA + vecteur AB = vecteur DB.

Rappel de cours : Règle du parallélogramme : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$vecteur AB + vecteur AD = vecteur AC, la diagonale issue de $A$A.

Erreur fréquente : $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$vecteur AB - vecteur AD est l'autre diagonale, orientée de $D$D vers $B$B : $\overrightarrow{DB}$vecteur DB, pas $\overrightarrow{BD}$vecteur BD.

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1. 1

   $-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BM}$- vecteur MB = vecteur BM, donc $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA}$vecteur MA - vecteur MB = vecteur BM + vecteur MA = vecteur BA (Chasles).

2. 2

   Puis $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BB}=\vec{0}$vecteur BA + vecteur AB = vecteur BB = vecteur 0.

Rappel de cours : $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}$vecteur MA - vecteur MB = vecteur BA pour tout point $M$M : le point $M$M disparaît.

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1. 1

   On insère le point $D$D : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$vecteur AC = vecteur AD + vecteur DC.

Rappel de cours : Chasles « à l'envers » : on peut décomposer un vecteur en insérant un point intermédiaire.

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1. 1

   $-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}$- vecteur CB = vecteur BC, donc $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$vecteur AB - vecteur CB = vecteur AB + vecteur BC.

2. 2

   Par Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$vecteur AB + vecteur BC = vecteur AC.

Rappel de cours : Soustraire un vecteur = ajouter son opposé : $-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}$- vecteur CB = vecteur BC.

Erreur fréquente : On transforme $-\overrightarrow{CB}$- vecteur CB en $+\overrightarrow{BC}$+ vecteur BC avant d'appliquer Chasles.

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1. 1

   $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$vecteur AB = vecteur DC signifie que $ABCD$ABCD est un parallélogramme.

2. 2

   Or, dans un parallélogramme, les diagonales $[AC]$[AC] et $[BD]$[BD] se coupent en leur milieu.

3. 3

   Donc les milieux de $[AC]$[AC] et $[BD]$[BD] coïncident.

Rappel de cours : Propriété : un quadrilatère est un parallélogramme $⟺$⇔ ses diagonales ont le même milieu.

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1. 1

   Chasles en passant par $I$I : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$vecteur AB = vecteur AI + vecteur IB et $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}$vecteur AC = vecteur AI + vecteur IC.

2. 2

   En additionnant : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}$vecteur AB + vecteur AC =2 vecteur AI + vecteur IB + vecteur IC.

3. 3

   $I$I milieu de $[BC]$[BC] : $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{BI}=-\overrightarrow{IB}$vecteur IC = vecteur BI =- vecteur IB, donc $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$vecteur IB + vecteur IC = vecteur 0.

4. 4

   Il reste $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$vecteur AB + vecteur AC =2 vecteur AI, d'où $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$vecteur AI =1/2( vecteur AB + vecteur AC ).

Rappel de cours : $I$I milieu de $[BC]⟺\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$[BC]⇔ vecteur IB + vecteur IC = vecteur 0.

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1. 1

   $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}⟺\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BM}$vecteur MA + vecteur MB = vecteur 0 ⇔ vecteur MA =- vecteur MB = vecteur BM.

2. 2

   $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MA}$vecteur BM = vecteur MA : on va de $B$B à $M$M comme de $M$M à $A$A, donc $M$M est sur $[AB]$[AB] et $BM=MA$BM=MA.

3. 3

   Autre rédaction : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}$vecteur MA + vecteur MB = vecteur MA + vecteur MA + vecteur AB =2 vecteur MA + vecteur AB = vecteur 0, donc $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$vecteur AM =1/2 vecteur AB.

Rappel de cours : Pour situer un point défini par une relation vectorielle, on exprime $\overrightarrow{AM}$vecteur AM en fonction d'un vecteur connu.

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1. 1

   $I$I milieu de $[AC]$[AC] : $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IC}$vecteur AI = vecteur IC.

   $I$I milieu de $[BD]$[BD] : $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{ID}$vecteur BI = vecteur ID.

2. 2

   $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$vecteur AB = vecteur AI + vecteur IB et $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IC}$vecteur DC = vecteur DI + vecteur IC.

   Or $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{BI}=-\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{DI}$vecteur IB =- vecteur BI =- vecteur ID = vecteur DI et $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IC}$vecteur AI = vecteur IC.

3. 3

   Donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{DC}$vecteur AB = vecteur IC + vecteur DI = vecteur DI + vecteur IC = vecteur DC.

   $ABCD$ABCD est un parallélogramme.

Rappel de cours : On décompose les vecteurs avec Chasles autour du point commun $I$I, puis on utilise les égalités des milieux.

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1. 1

   $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$vecteur AD = vecteur AB + vecteur AC : $D$D est le quatrième sommet du parallélogramme construit sur $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{AC}$vecteur AC.

2. 2

   On a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$vecteur AB = vecteur CD (car $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$vecteur AD - vecteur AC = vecteur CD = vecteur AB), donc $ABDC$ABDC est un parallélogramme.

Rappel de cours : La somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$vecteur AB + vecteur AC est la diagonale du parallélogramme de côtés $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{AC}$vecteur AC (règle du parallélogramme).

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1. 1

   $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$vecteur AC =3 vecteur AB : les vecteurs $\overrightarrow{AC}$vecteur AC et $\overrightarrow{AB}$vecteur AB sont colinéaires (l'un est un multiple de l'autre).

2. 2

   Deux vecteurs colinéaires partageant le point $A$A signifient que $A$A, $B$B, $C$C sont alignés.

Rappel de cours : $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$vecteur AC =k vecteur AB ($k$k réel) $⟺A$⇔ A, $B$B, $C$C alignés.

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1. 1

   On décompose avec Chasles à partir de $A$A : $\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{AG}$vecteur GA =- vecteur AG, $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AB}$vecteur GB = vecteur GA + vecteur AB =- vecteur AG + vecteur AB, $\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AC}$vecteur GC =- vecteur AG + vecteur AC.

2. 2

   Somme $=\vec{0}$= vecteur 0 : $-\overrightarrow{AG}+(-\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AB})+(-\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AC})=\vec{0}$- vecteur AG +(- vecteur AG + vecteur AB )+(- vecteur AG + vecteur AC )= vecteur 0, soit $-3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}$-3 vecteur AG + vecteur AB + vecteur AC = vecteur 0.

3. 3

   Donc $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$vecteur AG =1/3( vecteur AB + vecteur AC ).

Rappel de cours : Le centre de gravité vérifie $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$vecteur AG =1/3( vecteur AB + vecteur AC ) : on l'obtient en décomposant tout depuis un sommet avec Chasles.

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1. 1

   $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}$vecteur AB =2 vecteur CD : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$vecteur AB et $\overrightarrow{CD}$vecteur CD sont colinéaires.

2. 2

   Deux vecteurs directeurs colinéaires $\Rightarrow$⇒ les droites $(AB)$(AB) et $(CD)$(CD) sont parallèles.

Rappel de cours : Si $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$vecteur AB =k vecteur CD, les droites $(AB)$(AB) et $(CD)$(CD) sont parallèles (ou confondues).

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1. 1

   Le milieu $K$K de $[EF]$[EF] vérifie, comme tout milieu (voir l'exercice « Vecteur médiane »), $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF})$vecteur AK =1/2( vecteur AE + vecteur AF ).

2. 2

   $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$vecteur AK =1/2(2 vecteur AB +2 vecteur AD )= vecteur AB + vecteur AD.

3. 3

   Dans le parallélogramme $ABCD$ABCD, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$vecteur AB + vecteur AD = vecteur AC.

   Donc $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}$vecteur AK = vecteur AC, et $K=C$K=C.

Rappel de cours : Deux points $K$K et $C$C tels que $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AC}$vecteur AK = vecteur AC sont confondus.

Erreur fréquente : Une figure bien faite le suggère, mais seule l'égalité vectorielle le démontre.