Vecteur directeur selon l'équation : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Pour une équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ ax + by + c = 0, un vecteur directeur est $u (- b; a)$ vecteur u (-b ;a). Pour une équation réduite $y = m x + p$ y = mx + p, c'est $u (1; m)$ vecteur u (1 ;m).

À partir de deux points $A$ A et $B$ B de la droite, $A B$ vecteur AB est un vecteur directeur.

Un vecteur directeur donne la direction de la droite : tous ses multiples non nuls conviennent, et deux droites parallèles partagent la même direction.

La forme réduite fournit le vecteur le plus lisible, $u (1; m)$ vecteur u (1 ;m) : avancer d'une unité en abscisse fait monter de $m$ m, ce qui est exactement la définition du coefficient directeur.

Exemple

3 x + 2 y - 6 = 0 \Rightarrow u (- 2; 3)

3x + 2y - 6 = 0 ⇒ vecteur u (-2 ;3).

y = 3 x - 1 \Rightarrow u (1; 3)

y = 3x - 1 ⇒ vecteur u (1 ;3).

Deuxième exemple

- x + 4 y + 7 = 0

-x + 4y + 7 = 0 : avec

a = - 1

a = -1 et

b = 4

b = 4, un vecteur directeur est

u (- 4; - 1)

vecteur u (-4 ;-1). En forme réduite,

y = \frac{x}{4} - \frac{7}{4}

y = x/4 - 7/4 donne

u (1; 0, 25)

vecteur u (1 ;0,25), qui lui est bien colinéaire.

Piège à éviter

Pour la forme cartésienne, c'est

(- b; a)

(-b ;a) : attention au signe de

b

Questions fréquentes

Pourquoi plusieurs vecteurs directeurs pour une même droite ?

Parce que seule la direction compte : tout multiple non nul convient.

(- 4; - 1)

(-4 ;-1) et

(4; 1)

(4 ;1) dirigent la même droite.

Comment obtenir un vecteur directeur à partir de deux points ?

En calculant

A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})

vecteur AB (x_B - x_A ;y_B - y_A) : deux points d'une droite suffisent toujours.

Une droite verticale a-t-elle un vecteur directeur ?

Oui,

u (0; 1)

vecteur u (0 ;1), même si elle n'a pas de coefficient directeur. C'est l'avantage des vecteurs sur la forme réduite.

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