Les trois cas : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Si les coefficients directeurs diffèrent ( $m \neq = m^{'}$ m ≠ m'), les droites sont sécantes : elles ont un unique point d'intersection.

Si $m = m^{'}$ m = m', on compare les ordonnées à l'origine : $p \neq = p^{'}$ p ≠ p' → strictement parallèles ; $p = p^{'}$ p = p' → confondues.

La question se règle en deux temps : on compare d'abord les coefficients directeurs, et seulement s'ils sont égaux on compare les ordonnées à l'origine. Le second test ne sert que dans ce cas.

L'interprétation par les systèmes éclaire les trois cas : sécantes correspond à une solution unique, strictement parallèles à aucune solution, confondues à une infinité.

Exemple

y = 2 x + 1

y = 2x + 1 et

y = 3 x - 4

y = 3x - 4 :

m \neq = m^{'}

m ≠ m', donc sécantes.

Deuxième exemple

y = - x + 4

y = -x + 4 et

y = - x + 4

y = -x + 4 sont confondues ;

y = - x + 4

y = -x + 4 et

y = - x - 1

y = -x - 1 sont strictement parallèles ;

y = - x + 4

y = -x + 4 et

y = 2 x - 1

y = 2x - 1 sont sécantes, avec un point d'intersection d'abscisse

\frac{5}{3}

5/3.

Piège à éviter

Pour trouver le point d'intersection de droites sécantes, on résout le système des deux équations.

Questions fréquentes

Comment trouver le point d'intersection de deux droites sécantes ?

On résout le système de leurs deux équations, ou plus simplement l'équation

m x + p = m^{'} x + p^{'}

mx + p = m'x + p'.

Le test des ordonnées à l'origine sert-il toujours ?

Non, uniquement quand les coefficients directeurs sont égaux. Si

m \neq = m^{'}

m ≠ m', les droites se coupent quelles que soient les valeurs de

p

Deux droites verticales peuvent-elles être sécantes ?

Non : elles sont toujours parallèles, confondues si elles ont la même équation, strictement parallèles sinon.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur vecteurs et géométrie repérée en seconde

Coordonnées, vecteurs, distances, milieux et équations de droites : toute la géométrie analytique de Seconde.

Formule : Les trois cas

Ce que dit la formule

Exemple

Deuxième exemple

Piège à éviter

Questions fréquentes

Notions liées

Tout sur vecteurs et géométrie repérée en seconde

Le cours

Les notions du thème

S'entraîner