Les étapes

1
Déterminer un point et un vecteur directeur
Avec deux points $A$ A et $B$ B, le vecteur directeur est $A B$ vecteur AB. Sinon, on utilise le vecteur directeur donné.
2
Écrire la colinéarité
Un point $M (x; y)$ M(x ;y) est sur la droite si $A M$ vecteur AM et $u$ vecteur u sont colinéaires : $(x - x_{A}) β - (y - y_{A}) α = 0$ (x - x_A) β - (y - y_A) α = 0.
3
Développer
On développe pour obtenir la forme $a x + b y + c = 0$ ax + by + c = 0.

Exemple corrigé

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par $A (1; 2)$ A(1 ;2) et $B (3; 8)$ B(3 ;8).

1.Vecteur directeur : $A B (3 - 1; 8 - 2) = (2; 6)$ vecteur AB (3-1 ; 8-2) = (2 ;6).
2.Colinéarité de $A M (x - 1; y - 2)$ vecteur AM (x-1 ;y-2) et $A B (2; 6)$ vecteur AB (2 ;6) : $(x - 1) \times 6 - (y - 2) \times 2 = 0$ (x-1)× 6 - (y-2)× 2 = 0.
3.Développement : $6 x - 6 - 2 y + 4 = 0$ 6x - 6 - 2y + 4 = 0, soit $6 x - 2 y - 2 = 0$ 6x - 2y - 2 = 0, donc $3 x - y - 1 = 0$ 3x - y - 1 = 0.

Résultat :

3 x - y - 1 = 0

3x - y - 1 = 0 (ou

y = 3 x - 1

y = 3x - 1).

On peut simplifier l'équation en divisant par un facteur commun (ici

2

2) pour la rendre plus lisible.

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Coordonnées, vecteurs, distances, milieux et équations de droites : toute la géométrie analytique de Seconde.