Probabilités en Sixième

Probabilités en 6ᵉ : cours complet

Une probabilité est un nombre qui dit si un événement a beaucoup ou peu de chances de se produire : obtenir un $6$6 avec un dé, tirer une boule rouge, gagner à une loterie. En 6ᵉ, on passe des « chances » du CM2 à un nombre, que l'on sait écrire de plusieurs façons.

Calculer une probabilité

Quand tous les résultats possibles ont la même chance de se produire (dé équilibré, pièce équilibrée, boules de même taille tirées au hasard), on calcule :

$$\text{probabiliteˊ}=\frac{\text{nombre de reˊsultats favorables}}{\text{nombre de reˊsultats possibles}}$$probabilité = (nombre de résultats favorables)/(nombre de résultats possibles)

Exemple : on lance un dé. Les résultats possibles sont $1$1, $2$2, $3$3, $4$4, $5$5, $6$6. Pour « obtenir un nombre pair », les résultats favorables sont $2$2, $4$4 et $6$6 : la probabilité est $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$3/6 = 1/2.

« $a$a chances sur $b$b » s'écrit $\frac{a}{b}$a/b : $3$3 chances sur $8$8, c'est la probabilité $\frac{3}{8}$3/8.

Toujours entre 0 et 1

Une probabilité ne peut pas dépasser $1$1, car il ne peut pas y avoir plus de résultats favorables que de résultats possibles. Un événement et son contraire (« il pleut » et « il ne pleut pas ») ont des probabilités dont la somme vaut $1$1.

Fraction, décimal, pourcentage

Une même probabilité s'écrit de plusieurs façons :

$$\frac{1}{4}=0,25=\frac{25}{100}=25\%$$1/4 = 0,25 = 25/100 = 25 %

Pour comparer des probabilités, on les écrit sous la même forme. Exemple : $\frac{3}{8}=0,375$3/8 = 0,375 et $\frac{2}{5}=0,4$2/5 = 0,4, donc $\frac{2}{5}$2/5 est la plus grande. On ne compare jamais deux fractions par leurs seuls numérateurs.

Expériences en deux étapes

Quand on lance deux dés, ou une pièce puis un dé, on recense tous les résultats dans un tableau à double entrée ou dans un arbre. Pour deux dés, le tableau a $6\times 6=36$6 × 6 = 36 cases, toutes aussi probables.

Exemple : la somme $7$7 apparaît dans $6$6 cases, donc sa probabilité vaut $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$6/36 = 1/6. La somme $12$12 n'apparaît qu'une fois : $\frac{1}{36}$1/36. Les sommes ne sont pas toutes aussi probables.

Fréquence et probabilité

Quand on répète une expérience, la fréquence d'un résultat est :

$$\text{freˊquence}=\frac{\text{nombre de fois ouˋ il est obtenu}}{\text{nombre total d’essais}}$$fréquence = (nombre de fois où il est obtenu)/(nombre total d'essais)

Sur peu d'essais, elle peut être loin de la probabilité. Sur un grand nombre d'essais, elle s'en rapproche en général. On s'en sert pour estimer une probabilité qu'on ne peut pas calculer (une punaise, un bouchon) ou pour soupçonner qu'un dé est truqué.

Le hasard n'a pas de mémoire : après trois « pile », la probabilité d'obtenir « face » reste $\frac{1}{2}$1/2.

Erreurs fréquentes à éviter

• « Deux couleurs, donc une chance sur deux » : on compte les boules, pas les couleurs.
• Comparer $\frac{3}{8}$3/8 et $\frac{2}{5}$2/5 par les numérateurs : on passe par l'écriture décimale.
• Oublier un résultat dans une expérience en deux étapes : « pile puis face » et « face puis pile » sont deux résultats.
• Croire que le hasard compense après une série de résultats identiques.

FAQ — Probabilités en 6ᵉ

Qu'est-ce qu'une probabilité ?

C'est un nombre entre $0$0 et $1$1 qui mesure les chances qu'un événement se produise. Avec un dé, la probabilité d'obtenir $6$6 est $\frac{1}{6}$1/6 : une chance sur six.

Comment calculer une probabilité ?

Quand tous les résultats ont la même chance, on divise le nombre de résultats favorables par le nombre de résultats possibles. Pour une urne de $10$10 boules dont $3$3 rouges, la probabilité de tirer une rouge vaut $\frac{3}{10}$3/10.

Peut-on écrire une probabilité en pourcentage ?

Oui : $\frac{3}{10}=0,3=30\%$3/10 = 0,3 = 30 %. C'est ce que fait la météo quand elle annonce « $30\%$30 % de risque de pluie ».

Pourquoi la fréquence n'est-elle pas égale à la probabilité ?

Parce que le hasard crée des écarts, surtout sur peu d'essais. En lançant une pièce $10$10 fois, on peut obtenir $7$7 « pile ». Sur des milliers de lancers, la fréquence se rapproche de $\frac{1}{2}$1/2.