Exercices types · L1 maths

La méthode par combinaison linéaire — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Coefficients déjà opposés

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

{2 x + y = 7 x - y = 2

2x + y = 7 ; x - y = 2.

Voir la correction

1.
On additionne (les $y$ y s'éliminent) : $3 x = 9$ 3x = 9, $x = 3$ x = 3.
→ Principe de l'élimination
2.
$3 - y = 2$ 3 - y = 2, donc $y = 1$ y = 1.

Réponse :

(3; 1)

(3 ;1).

Méthode utilisée : Addition pour éliminer $y$ y.

Erreur fréquente : Soustraire au lieu d'additionner.

Multiplier une équation

Niveau 3 · Type contrôle

Résoudre

{x + y = 5 2 x + 3 y = 12

x + y = 5 ; 2x + 3y = 12.

Voir la correction

1.
On multiplie la 1ʳᵉ par $2$ 2 : $2 x + 2 y = 10$ 2x + 2y = 10.
→ Principe de l'élimination
2.
On soustrait à la 2ᵉ : $(2 x + 3 y) - (2 x + 2 y) = 12 - 10$ (2x + 3y) - (2x + 2y) = 12 - 10, soit $y = 2$ y = 2.
3.
$x + 2 = 5$ x + 2 = 5, donc $x = 3$ x = 3.

Réponse :

(3; 2)

(3 ;2).

Méthode utilisée : On multiplie la 1ʳᵉ équation par $2$ 2, puis on soustrait.

Erreur fréquente : Multiplier une seule ligne sur tous ses termes.

Par soustraction

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

{3 x + y = 10 x + y = 6

3x + y = 10 ; x + y = 6.

Voir la correction

1.
On soustrait la 2ᵉ à la 1ʳᵉ : $2 x = 4$ 2x = 4, donc $x = 2$ x = 2.
→ Principe de l'élimination
2.
$2 + y = 6$ 2 + y = 6, donc $y = 4$ y = 4.

Réponse :

(2; 4)

(2 ;4).

Méthode utilisée : On soustrait les équations pour éliminer $y$ y.

Erreur fréquente : Erreur de signe lors de la soustraction.

Addition directe

Niveau 1 · Application directe

Résoudre

{x + y = 5 x - y = 1

x+y=5 ; x-y=1.

Voir la correction

1.
Addition : $2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ 2x=6⇒ x=3, puis $y = 2$ y=2.

Réponse :

(3; 2)

(3 ;2).

Méthode utilisée : Les $+ y$ +y et $- y$ -y s'éliminent.

Erreur fréquente : Soustraire au lieu d'additionner.

Élimination par addition

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

{2 x + y = 7 x - y = 2

2x+y=7 ; x-y=2.

Voir la correction

1.
Addition : $3 x = 9 \Rightarrow x = 3$ 3x=9⇒ x=3, puis $y = 1$ y=1.

Réponse :

(3; 1)

(3 ;1).

Méthode utilisée : On additionne pour éliminer $y$ y.

Erreur fréquente : Oublier de reporter pour trouver $y$ y.

Élimination par soustraction

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

{3 x + 2 y = 12 3 x - y = 3

3x+2y=12 ; 3x-y=3.

Voir la correction

1.
Soustraction : $3 y = 9 \Rightarrow y = 3$ 3y=9⇒ y=3, puis $3 x = 6 \Rightarrow x = 2$ 3x=6⇒ x=2.

Réponse :

(2; 3)

(2 ;3).

Méthode utilisée : On soustrait pour éliminer $3 x$ 3x.

Erreur fréquente : Se tromper de signe lors de la soustraction.

Avec deux 2x

Niveau 3 · Type contrôle

Résoudre

{2 x + 5 y = 16 2 x - 3 y = 0

2x+5y=16 ; 2x-3y=0.

Voir la correction

1.
Soustraction : $8 y = 16 \Rightarrow y = 2$ 8y=16⇒ y=2, puis $2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ 2x=6⇒ x=3.

Réponse :

(3; 2)

(3 ;2).

Méthode utilisée : On élimine $2 x$ 2x par soustraction.

Erreur fréquente : Additionner (le $2 x$ 2x ne s'élimine pas).

Multiplier avant (type contrôle)

Niveau 3 · Type contrôle

Résoudre

{2 x + 3 y = 8 x + 2 y = 5

2x+3y=8 ; x+2y=5.

Voir la correction

1.
On multiplie la 2ᵉ par $2$ 2 : $2 x + 4 y = 10$ 2x+4y=10.
2.
Soustraction : $y = 2$ y=2, puis $x = 1$ x=1.

Réponse :

(1; 2)

(1 ;2).

Méthode utilisée : On ajuste les coefficients par multiplication avant d'éliminer.

Erreur fréquente : Multiplier une seule ligne partiellement.

Addition

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

{3 x + y = 10 3 x - y = 2

3x+y=10 ; 3x-y=2.

Voir la correction

1.
Addition : $6 x = 12 \Rightarrow x = 2$ 6x=12⇒ x=2, $y = 4$ y=4.
→ Principe de l'élimination

Réponse :

(2; 4)

(2 ;4).

Méthode utilisée : Les $\pm y$ ± y s'éliminent.

Erreur fréquente : Soustraire.

Élimination de y (type contrôle)

Niveau 3 · Type contrôle

Résoudre

{x + 2 y = 8 3 x - 2 y = 0

x+2y=8 ; 3x-2y=0.

Voir la correction

1.
Addition : $4 x = 8 \Rightarrow x = 2$ 4x=8⇒ x=2, puis $2 + 2 y = 8 \Rightarrow y = 3$ 2+2y=8⇒ y=3.
→ Principe de l'élimination

Réponse :

(2; 3)

(2 ;3).

Méthode utilisée : On additionne pour éliminer $y$ y.

Erreur fréquente : Se tromper de signe.

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