Notion

La méthode de substitution

La méthode de substitution sert à résoudre un système de deux équations à deux inconnues. Le principe : isoler une inconnue dans l'une des équations (l'exprimer en fonction de l'autre), puis remplacer (« substituer ») cette expression dans la seconde équation. On obtient alors une équation à une seule inconnue, facile à résoudre ; on reporte enfin la valeur trouvée pour obtenir l'autre inconnue. Par exemple, de $y = 2 x + 1$ y=2x+1 on remplace $y$ y dans la seconde équation. La substitution est particulièrement pratique quand une inconnue est déjà isolée ou a un coefficient $1$ 1. C'est l'une des deux grandes méthodes de résolution, avec la combinaison linéaire.

Définitions

Substitution: C'est remplacer une inconnue par son expression en fonction de l'autre. Pratique quand une inconnue est déjà isolée (ou facile à isoler).
Isoler puis remplacer: On exprime une inconnue en fonction de l'autre ( $y = 2 x + 1$ y=2x+1), puis on la remplace dans la seconde équation pour n'avoir plus qu'une inconnue.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Principe de la substitution →

y = \dots \Rightarrow remplacer y dans l’autre \overset{e}{ˊ} quation

y = … ⇒ remplacer y dans l'autre équationIsoler une inconnue, la remplacer dans l'autre équation.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Résoudre un système par substitution →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Inconnue déjà isolée

Niveau 2 · Méthode complète

Résoudre

{y = 2 x x + y = 6

y = 2x ; x + y = 6 par substitution.

Voir la correction

1.
On remplace $y$ y par $2 x$ 2x : $x + 2 x = 6$ x + 2x = 6.
→ Principe de la substitution
2.
$3 x = 6$ 3x = 6, $x = 2$ x = 2, puis $y = 4$ y = 4.

Réponse :

(2; 4)

(2 ;4).

Méthode utilisée : On substitue $y = 2 x$ y=2x puis on résout en $x$ x.

Erreur fréquente : Oublier de revenir à $y$ y.

Isoler puis substituer

Niveau 3 · Type contrôle

Résoudre

{x + y = 5 2 x + y = 7

x + y = 5 ; 2x + y = 7 par substitution.

Voir la correction

1.
On isole $y$ y dans la 1ʳᵉ : $y = 5 - x$ y = 5 - x.
→ Principe de la substitution
2.
On remplace : $2 x + (5 - x) = 7$ 2x + (5 - x) = 7, soit $x = 2$ x = 2.
3.
$y = 5 - 2 = 3$ y = 5 - 2 = 3.

Réponse :

(2; 3)

(2 ;3).

Méthode utilisée : On isole $y = 5 - x$ y=5-x puis on substitue.

Erreur fréquente : Erreur de signe en isolant $y$ y.

Faire les 10 exercices types sur méthode de substitution8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

En quoi consiste la méthode de substitution ?

On exprime une inconnue en fonction de l'autre, puis on la remplace dans la seconde équation. On se retrouve avec une seule inconnue, plus facile à trouver.

Quand préférer la substitution ?

Quand une inconnue est déjà isolée (comme y = 2x) ou facile à isoler. Sinon, la combinaison linéaire est souvent plus rapide.

Comment finir le calcul ?

Une fois une inconnue trouvée, on la remplace dans une des équations pour obtenir l'autre, puis on vérifie dans les deux équations.

Quelles sont les étapes de la substitution ?

1) isoler une inconnue dans une équation ; 2) la remplacer dans l'autre ; 3) résoudre l'équation à une inconnue ; 4) calculer la seconde inconnue.

Comment vérifier la solution d'un système ?

On remplace le couple (x ; y) trouvé dans les deux équations de départ : elles doivent être vraies toutes les deux.

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