Principe de l'élimination : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

On rend opposés les coefficients d'une inconnue (en multipliant si besoin), puis on additionne les équations : l'inconnue disparaît. On résout celle qui reste, puis on remonte.

On vérifie la solution dans les deux équations.

L'idée de départ : additionner deux égalités membre à membre donne encore une égalité. En choisissant bien les coefficients, on fait disparaître une inconnue et il ne reste qu'une équation à une seule inconnue.

On multiplie donc une équation, ou les deux, par un nombre bien choisi pour rendre opposés les coefficients de l'inconnue à éliminer. S'ils le sont déjà, on additionne directement.

Exemple sur la méthode par combinaison linéaire

{2 x + y = 7 x - y = 2

2x + y = 7 ; x - y = 2 : on additionne,

3 x = 9

3x = 9,

x = 3

x = 3,

y = 1

y = 1.

Deuxième exemple

{3 x + 2 y = 16 5 x - 2 y = 8

3x + 2y = 16 ; 5x - 2y = 8 : les coefficients de

y

y sont déjà opposés. On additionne :

8 x = 24

8x = 24, donc

x = 3

x = 3, puis

3 \times 3 + 2 y = 16

3× 3 + 2y = 16 donne

y = 3, 5

y = 3,5.

Piège à éviter avec la méthode par combinaison linéaire

Vérifier que les coefficients d'une inconnue sont bien opposés avant d'additionner.

Questions fréquentes sur la méthode par combinaison linéaire

Quand préférer la combinaison à la substitution ?

Quand aucune inconnue n'est facile à isoler, typiquement si tous les coefficients diffèrent de

1

1. La combinaison évite alors les fractions.

Peut-on soustraire les équations au lieu de les additionner ?

Oui, c'est équivalent : soustraire revient à additionner l'opposé. On le fait quand les coefficients sont égaux plutôt qu'opposés.

Comment choisir par quoi multiplier les équations ?

Par les coefficients croisés de l'inconnue à éliminer : pour

3 x

3x et

5 x

5x, on multiplie la première par

5

5 et la seconde par

- 3

-3, ce qui donne

15 x

15x et

- 15 x

-15x.

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