Exercices types · Terminale spé maths

La formule de Bayes — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Inverser un conditionnement

Niveau 2 · Méthode complète

On donne

P (A) = 0, 4

P(A)=0,4,

P_{A} (B) = 0, 5

P_A(B)=0,5,

P (\overline{A}) = 0, 6

P(A̅)=0,6 et

P_{\overline{A}} (B) = 0, 25

P_A̅(B)=0,25. Calculer

P_{B} (A)

P_B(A).

Voir la correction

1.
Numérateur : $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B) = 0, 4 \times 0, 5 = 0, 2$ P(A ∩ B) = P(A) P_A(B) = 0,4× 0,5 = 0,2.
2.
Dénominateur : $P (B) = 0, 4 \times 0, 5 + 0, 6 \times 0, 25 = 0, 2 + 0, 15 = 0, 35$ P(B) = 0,4× 0,5 + 0,6× 0,25 = 0,2 + 0,15 = 0,35.
3.
$P_{B} (A) = \frac{0 , 2}{0 , 35} = \frac{4}{7} \approx 0, 57$ P_B(A) = 0,2/0,35 = 4/7 ≈ 0,57.
→ Formule de Bayes développée

Réponse :

P_{B} (A) = \frac{4}{7} \approx 0, 57

P_B(A) = 4/7 ≈ 0,57.

Méthode utilisée : Probabilités totales pour $P (B)$ P(B), puis formule de Bayes.

Erreur fréquente : Oublier de calculer $P (B)$ P(B) au dénominateur.

Le paradoxe du test médical

Niveau 3 · Type contrôle

Une maladie touche

1%

1% de la population. Le test est positif chez

99%

99% des malades et chez

5%

5% des non-malades. Une personne testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?

Voir la correction

1.
On note $M$ M « malade » et $T$ T « test positif ». Données : $P (M) = 0, 01$ P(M)=0,01, $P_{M} (T) = 0, 99$ P_M(T)=0,99, $P_{\overline{M}} (T) = 0, 05$ P_M̅(T)=0,05.
2.
Numérateur : $P (M \cap T) = 0, 01 \times 0, 99 = 0, 0099$ P(M ∩ T) = 0,01× 0,99 = 0,0099.
3.
Probabilité totale d'un test positif : $P (T) = 0, 0099 + 0, 99 \times 0, 05 = 0, 0099 + 0, 0495 = 0, 0594$ P(T) = 0,0099 + 0,99× 0,05 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594.
4.
$P_{T} (M) = \frac{0 , 0099}{0 , 0594} = \frac{1}{6} \approx 0, 17$ P_T(M) = 0,0099/0,0594 = 1/6 ≈ 0,17.
→ Formule de Bayes développée

Réponse :

P_{T} (M) = \frac{1}{6} \approx 0, 17

P_T(M) = 1/6 ≈ 0,17, soit environ

17%

17%.

Méthode utilisée : Probabilités totales puis Bayes.

Erreur fréquente : Croire que la réponse est proche de $99%$ 99% : la maladie étant rare, beaucoup de positifs sont des faux positifs.

Bayes quand P(B) est connu

Niveau 1 · Application directe

On sait que

P (A \cap B) = 0, 2

P(A ∩ B) = 0,2 et

P (B) = 0, 35

P(B) = 0,35. Calculer

P_{B} (A)

P_B(A).

Voir la correction

1.
Ici $P (B)$ P(B) est donné, on applique directement la formule de Bayes.
→ Formule de Bayes
2.
$P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0 , 2}{0 , 35} = \frac{4}{7} \approx 0, 57$ P_B(A) = (P(A ∩ B))/P(B) = 0,2/0,35 = 4/7 ≈ 0,57.

Réponse :

P_{B} (A) = \frac{4}{7} \approx 0, 57

P_B(A) = 4/7 ≈ 0,57.

Méthode utilisée : $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ P_B(A)=(P(A∩ B))/P(B), directement.

Erreur fréquente : Inverser le quotient (diviser par $P (A \cap B)$ P(A∩ B)).

Bayes direct

Niveau 1 · Application directe

On donne

P (A) = 0, 4

P(A)=0,4,

P_{A} (B) = 0, 5

P_A(B)=0,5 et

P (B) = 0, 25

P(B)=0,25. Calculer

P_{B} (A)

P_B(A).

Voir la correction

1.
$P_{B} (A) = \frac{P ( A ) P _{A} ( B )}{P ( B )} = \frac{0 , 4 \times 0 , 5}{0 , 25}$ P_B(A)=(P(A) P_A(B))/P(B)=(0,4× 0,5)/0,25.
2.
$= \frac{0 , 2}{0 , 25} = 0, 8$ =0,2/0,25=0,8.

Réponse :

P_{B} (A) = 0, 8

P_B(A)=0,8.

Méthode utilisée : Formule de Bayes : $P_{B} (A) = \frac{P ( A ) P _{A} ( B )}{P ( B )}$ P_B(A)=(P(A) P_A(B))/P(B).

Erreur fréquente : Ne pas confondre $P_{A} (B)$ P_A(B) (B sachant A) et $P_{B} (A)$ P_B(A) (A sachant B) : Bayes sert justement à inverser le conditionnement.

Avec les probabilités totales

Niveau 2 · Méthode complète

On a

P (A) = 0, 3

P(A)=0,3,

P_{A} (B) = 0, 9

P_A(B)=0,9,

P (\overline{A}) = 0, 7

P(A̅)=0,7 et

P_{\overline{A}} (B) = 0, 2

P_A̅(B)=0,2. Calculer

P_{B} (A)

P_B(A).

Voir la correction

1.
$P (B) = 0, 3 \times 0, 9 + 0, 7 \times 0, 2 = 0, 27 + 0, 14 = 0, 41$ P(B)=0,3× 0,9+0,7× 0,2=0,27+0,14=0,41.
2.
$P_{B} (A) = \frac{0 , 27}{0 , 41} \approx 0, 659$ P_B(A)=0,27/0,41≈ 0,659.

Réponse :

P_{B} (A) \approx 0, 66

P_B(A)≈ 0,66.

Méthode utilisée : On calcule d'abord $P (B)$ P(B) par les probabilités totales, puis on applique Bayes.

Erreur fréquente : Oublier de calculer $P (B)$ P(B) au dénominateur : ce n'est pas $P_{A} (B)$ P_A(B).

Test médical

Niveau 3 · Type contrôle

Une maladie touche

2%

2% de la population. Un test est positif chez

95%

95% des malades et chez

5%

5% des personnes saines. Un test est positif : quelle est la probabilité d'être malade ?

Voir la correction

1.
$P (M) = 0, 02$ P(M)=0,02, $P_{M} (T) = 0, 95$ P_M(T)=0,95, $P_{\overline{M}} (T) = 0, 05$ P_M̅(T)=0,05.
2.
$P (T) = 0, 02 \times 0, 95 + 0, 98 \times 0, 05 = 0, 019 + 0, 049 = 0, 068$ P(T)=0,02× 0,95+0,98× 0,05=0,019+0,049=0,068.
3.
$P_{T} (M) = \frac{0 , 019}{0 , 068} \approx 0, 279$ P_T(M)=0,019/0,068≈ 0,279.

Réponse : Environ

28%

28%.

Méthode utilisée : Probabilités totales pour $P (T)$ P(T), puis Bayes.

Erreur fréquente : Croire que la réponse est proche de $95%$ 95% : comme la maladie est rare, beaucoup de positifs sont des faux positifs.

Deux urnes

Niveau 2 · Méthode complète

Urne

U_{1}

U₁ (probabilité

0, 5

0,5) contient

3

3 boules rouges et

2

2 vertes ;

U_{2}

U₂ (probabilité

0, 5

0,5) contient

1

1 rouge et

4

4 vertes. On tire une rouge : quelle probabilité qu'elle vienne de

U_{1}

U₁ ?

Voir la correction

1.
$P_{U_{1}} (R) = \frac{3}{5} = 0, 6$ P_U₁(R)=3/5=0,6, $P_{U_{2}} (R) = \frac{1}{5} = 0, 2$ P_U₂(R)=1/5=0,2.
2.
$P (R) = 0, 5 \times 0, 6 + 0, 5 \times 0, 2 = 0, 4$ P(R)=0,5× 0,6+0,5× 0,2=0,4.
3.
$P_{R} (U_{1}) = \frac{0 , 3}{0 , 4} = 0, 75$ P_R(U₁)=0,3/0,4=0,75.

Réponse :

0, 75

0,75.

Méthode utilisée : Bayes après un arbre à deux urnes.

Erreur fréquente : Prendre directement $0, 6$ 0,6 : il faut pondérer par $P (U_{1})$ P(U₁) et diviser par $P (R)$ P(R).

Filtre anti-spam (type bac)

Niveau 4 · Type brevet/bac

Un filtre estime que

80%

80% des mails reçus sont des spams. Le mot « gratuit » apparaît dans

60%

60% des spams et

10%

10% des mails légitimes. Un mail contient « gratuit » : quelle est la probabilité que ce soit un spam ?

Voir la correction

1.
$P (S) = 0, 8$ P(S)=0,8, $P_{S} (G) = 0, 6$ P_S(G)=0,6, $P_{\overline{S}} (G) = 0, 1$ P_S̅(G)=0,1.
2.
$P (G) = 0, 8 \times 0, 6 + 0, 2 \times 0, 1 = 0, 48 + 0, 02 = 0, 5$ P(G)=0,8× 0,6+0,2× 0,1=0,48+0,02=0,5.
3.
$P_{G} (S) = \frac{0 , 48}{0 , 5} = 0, 96$ P_G(S)=0,48/0,5=0,96.

Réponse :

0, 96

0,96, soit

96%

96%.

Méthode utilisée : Arbre pondéré, probabilités totales puis Bayes.

Erreur fréquente : Confondre $P_{S} (G)$ P_S(G) et $P_{G} (S)$ P_G(S) : la question demande la cause (spam) sachant l'indice (mot « gratuit »).

Bayes (deux cas donnés)

Niveau 2 · Méthode complète

On a

P (A) = 0, 5

P(A)=0,5,

P_{A} (B) = 0, 6

P_A(B)=0,6 et

P (B) = 0, 4

P(B)=0,4. Calculer

P_{B} (A)

P_B(A).

Voir la correction

1.
$P_{B} (A) = \frac{P ( A ) P _{A} ( B )}{P ( B )} = \frac{0 , 5 \times 0 , 6}{0 , 4}$ P_B(A)=(P(A) P_A(B))/P(B)=(0,5× 0,6)/0,4.
→ Formule de Bayes
2.
$= \frac{0 , 3}{0 , 4} = 0, 75$ =0,3/0,4=0,75.

Réponse :

0, 75

0,75.

Méthode utilisée : Formule de Bayes.

Erreur fréquente : Inverser numérateur et dénominateur.

Loterie (type bac)

Niveau 3 · Type contrôle

2%

2% des billets sont gagnants. Tous les gagnants reçoivent un mail, et

30%

30% des perdants aussi. Un joueur reçoit un mail : probabilité qu'il soit gagnant ?

Voir la correction

1.
$P (M) = 0, 02 \times 1 + 0, 98 \times 0, 3 = 0, 314$ P(M)=0,02× 1+0,98× 0,3=0,314.
→ Formule de Bayes développée
2.
$P_{M} (G) = \frac{0 , 02}{0 , 314} \approx 0, 064$ P_M(G)=0,02/0,314≈ 0,064.

Réponse : Environ

6, 4%

6,4%.

Méthode utilisée : Probabilités totales puis Bayes.

Erreur fréquente : Croire que recevoir un mail rend le gain probable.

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