Exercices types · Terminale spé maths

La loi binomiale — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Probabilité d'un nombre de succès

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

X \sim B (10; 0, 3)

X ~ B (10 ; 0,3). Calculer

P (X = 2)

P(X = 2).

Voir la correction

1.
On applique $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ P(X = k) = C(n, k) p^(k) (1-p)^(n-k) avec $n = 10$ n = 10, $p = 0, 3$ p = 0,3, $k = 2$ k = 2.
→ Loi binomiale : P(X = k)
2.
$(2 10) = 45$ C(10, 2) = 45, $0, 3^{2} = 0, 09$ 0,3² = 0,09, $0, 7^{8} \approx 0, 0576$ 0,7⁸ ≈ 0,0576.
3.
$P (X = 2) = 45 \times 0, 09 \times 0, 0576 \approx 0, 233$ P(X = 2) = 45× 0,09× 0,0576 ≈ 0,233.

Réponse :

P (X = 2) \approx 0, 233

P(X = 2) ≈ 0,233.

Méthode utilisée : $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ P(X=k)= C(n, k) p^(k)(1-p)^(n-k).

Erreur fréquente : Oublier le coefficient binomial $(k n)$ C(n, k).

Espérance, variance, écart-type

Niveau 1 · Application directe

Soit

X \sim B (10; 0, 3)

X ~ B (10 ; 0,3). Donner

E (X)

E(X),

V (X)

V(X) et

σ (X)

σ(X).

Voir la correction

1.
Espérance : $E (X) = n p = 10 \times 0, 3 = 3$ E(X) = np = 10× 0,3 = 3.
→ Espérance de la loi binomiale
2.
Variance : $V (X) = n p (1 - p) = 10 \times 0, 3 \times 0, 7 = 2, 1$ V(X) = np(1-p) = 10× 0,3× 0,7 = 2,1.
→ Variance et écart-type de la loi binomiale
3.
Écart-type : $σ (X) = 2, 1 \approx 1, 45$ σ(X) = √(2,1) ≈ 1,45.

Réponse :

E (X) = 3

E(X) = 3 ;

V (X) = 2, 1

V(X) = 2,1 ;

σ (X) \approx 1, 45

σ(X) ≈ 1,45.

Pièce équilibrée

Niveau 2 · Méthode complète

On lance

5

5 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement

3

3 fois pile ?

Voir la correction

1.
Succès = « pile », $p = 0, 5$ p = 0,5, $n = 5$ n = 5 : $X \sim B (5; 0, 5)$ X ~ B (5 ; 0,5). On cherche $P (X = 3)$ P(X = 3).
→ Loi binomiale : P(X = k)
2.
$P (X = 3) = (3 5) 0, 5^{3} 0, 5^{2} = (3 5) 0, 5^{5}$ P(X = 3) = C(5, 3) 0,5³ 0,5² = C(5, 3) 0,5⁵.
3.
$(3 5) = 10$ C(5, 3) = 10 et $0, 5^{5} = 0, 03125$ 0,5⁵ = 0,03125, donc $P (X = 3) = 10 \times 0, 03125 = 0, 3125$ P(X = 3) = 10× 0,03125 = 0,3125.

Réponse :

P (X = 3) = 0, 3125

P(X = 3) = 0,3125.

Au moins un succès

Niveau 3 · Type contrôle

Soit

X \sim B (10; 0, 3)

X ~ B (10 ; 0,3). Calculer la probabilité d'obtenir au moins un succès,

P (X \geq 1)

P(X ≥ 1).

Voir la correction

1.
On passe par l'événement contraire : $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)$ P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0).
2.
$P (X = 0) = (0 10) 0, 3^{0} 0, 7^{10} = 0, 7^{10} \approx 0, 0282$ P(X = 0) = C(10, 0) 0,3⁰ 0,7¹⁰ = 0,7¹⁰ ≈ 0,0282.
→ Loi binomiale : P(X = k)
3.
$P (X \geq 1) = 1 - 0, 0282 \approx 0, 972$ P(X ≥ 1) = 1 - 0,0282 ≈ 0,972.

Réponse :

P (X \geq 1) \approx 0, 972

P(X ≥ 1) ≈ 0,972.

Méthode utilisée : $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)$ P(X≥ 1)=1-P(X=0).

Erreur fréquente : Sommer tous les $P (X = k)$ P(X=k) au lieu d'utiliser le complémentaire.

Probabilité d'un succès

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

X \sim B (5; 0, 2)

X ~ B (5 ; 0,2). Calculer

P (X = 1)

P(X = 1).

Voir la correction

1.
$P (X = 1) = (1 5) 0, 2^{1} 0, 8^{4}$ P(X = 1) = C(5, 1) 0,2¹ 0,8⁴.
→ Loi binomiale : P(X = k)
2.
$(1 5) = 5$ C(5, 1) = 5, $0, 8^{4} = 0, 4096$ 0,8⁴ = 0,4096 : $P (X = 1) = 5 \times 0, 2 \times 0, 4096$ P(X = 1) = 5× 0,2× 0,4096.
3.
$= 0, 4096$ = 0,4096.

Réponse :

P (X = 1) \approx 0, 410

P(X = 1) ≈ 0,410.

Pièce équilibrée, 6 lancers

Niveau 2 · Méthode complète

On lance

6

6 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement

3

3 fois pile ?

Voir la correction

1.
$X \sim B (6; 0, 5)$ X ~ B (6 ; 0,5), on cherche $P (X = 3) = (3 6) 0, 5^{3} 0, 5^{3} = (3 6) 0, 5^{6}$ P(X = 3) = C(6, 3) 0,5³ 0,5³ = C(6, 3) 0,5⁶.
→ Loi binomiale : P(X = k)
2.
$(3 6) = 20$ C(6, 3) = 20, $0, 5^{6} = 0, 015625$ 0,5⁶ = 0,015625 : $P (X = 3) = 20 \times 0, 015625$ P(X = 3) = 20× 0,015625.
3.
$= 0, 3125$ = 0,3125.

Réponse :

P (X = 3) = 0, 3125

P(X = 3) = 0,3125.

Espérance et variance

Niveau 1 · Application directe

Soit

X \sim B (4; 0, 25)

X ~ B (4 ; 0,25). Donner

E (X)

E(X) et

V (X)

V(X).

Voir la correction

1.
$E (X) = n p = 4 \times 0, 25 = 1$ E(X) = np = 4× 0,25 = 1.
→ Espérance de la loi binomiale
2.
$V (X) = n p (1 - p) = 4 \times 0, 25 \times 0, 75 = 0, 75$ V(X) = np(1-p) = 4× 0,25× 0,75 = 0,75.
→ Variance et écart-type de la loi binomiale

Réponse :

E (X) = 1

E(X) = 1 ;

V (X) = 0, 75

V(X) = 0,75.

Méthode utilisée : $E (X) = n p$ E(X)=np et $V (X) = n p (1 - p)$ V(X)=np(1-p).

Au plus un succès

Niveau 3 · Type contrôle

Soit

X \sim B (10; 0, 3)

X ~ B (10 ; 0,3). Calculer

P (X \leq 1)

P(X ≤ 1).

Voir la correction

1.
$P (X \leq 1) = P (X = 0) + P (X = 1)$ P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1).
2.
$P (X = 0) = 0, 7^{10} \approx 0, 0282$ P(X = 0) = 0,7¹⁰ ≈ 0,0282 ; $P (X = 1) = (1 10) 0, 30, 7^{9} \approx 0, 121$ P(X = 1) = C(10, 1) 0,3 0,7⁹ ≈ 0,121.
→ Loi binomiale : P(X = k)
3.
$P (X \leq 1) \approx 0, 0282 + 0, 121 = 0, 149$ P(X ≤ 1) ≈ 0,0282 + 0,121 = 0,149.

Réponse :

P (X \leq 1) \approx 0, 149

P(X ≤ 1) ≈ 0,149.

Problème : QCM au hasard

Niveau 3 · Type contrôle

Un QCM a

10

10 questions, chacune à

4

4 choix dont

1

1 bon. Un élève répond au hasard. Quelle est la probabilité d'avoir exactement

3

3 bonnes réponses ?

Voir la correction

1.
Chaque question : succès (bonne réponse) avec $p = \frac{1}{4} = 0, 25$ p = 1/4 = 0,25. $X \sim B (10; 0, 25)$ X ~ B (10 ; 0,25).
2.
$P (X = 3) = (3 10) 0, 2 5^{3} 0, 7 5^{7}$ P(X = 3) = C(10, 3) 0,25³ 0,75⁷.
→ Loi binomiale : P(X = k)
3.
$(3 10) = 120$ C(10, 3) = 120, $0, 2 5^{3} = 0, 015625$ 0,25³ = 0,015625, $0, 7 5^{7} \approx 0, 1335$ 0,75⁷ ≈ 0,1335 : $P (X = 3) \approx 0, 250$ P(X = 3) ≈ 0,250.

Réponse :

P (X = 3) \approx 0, 250

P(X = 3) ≈ 0,250.

Problème : cinq tirs au but

Niveau 2 · Méthode complète

Un joueur marque un penalty avec probabilité

0, 8

0,8. Il tire

5

5 penaltys indépendants. Quelle est la probabilité qu'il les marque tous ?

Voir la correction

1.
$X \sim B (5; 0, 8)$ X ~ B (5 ; 0,8), on cherche $P (X = 5) = (5 5) 0, 8^{5} 0, 2^{0}$ P(X = 5) = C(5, 5) 0,8⁵ 0,2⁰.
→ Loi binomiale : P(X = k)
2.
$(5 5) = 1$ C(5, 5) = 1 : $P (X = 5) = 0, 8^{5} = 0, 32768$ P(X = 5) = 0,8⁵ = 0,32768.

Réponse :

P (X = 5) \approx 0, 328

P(X = 5) ≈ 0,328.

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