1
Écart-type à partir de la variance
Niveau 1 · Application directe
On sait que V(X) = 0,49. Donner l'écart-type de X.
Voir la correction
- 1.
- 2.σ(X) = √(0,49) = 0,7.
Réponse : σ(X) = 0,7.
L'écart-type
L'écart-type d'une variable aléatoire ou d'une série statistique mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne (ou de l'espérance) : plus il est grand, plus les données sont étalées. On le note σ et il se calcule comme la racine carrée de la variance : σ=√(V). Son intérêt par rapport à la variance : il s'exprime dans la même unité que les données, ce qui le rend directement interprétable. Un petit écart-type indique des valeurs regroupées, un grand écart-type des valeurs dispersées. Pour une loi binomiale B (n,p), il vaut √(np(1-p)). L'écart-type est un indicateur essentiel pour quantifier la régularité, la précision ou le risque.
Définitions
- Écart-type
- L'écart-type de X est la racine carrée de sa variance : σ(X) = √(V(X)). Il mesure l'éloignement moyen des valeurs de X à l'espérance E(X).
- Variance (rappel)
- La variance V(X) = E(X²) - (E(X))² est la moyenne des carrés des écarts à l'espérance. L'écart-type en est la racine carrée : il faut donc calculer la variance d'abord.
- Dispersion
- Un petit écart-type signifie que les valeurs sont resserrées autour de la moyenne ; un grand écart-type, qu'elles sont très dispersées. C'est ce que mesure σ.
Formules
Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.
Méthodes
Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.
Deux exercices pour vérifier
Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.
2
Écart-type d'une loi complète
Niveau 2 · Méthode complète
Soit X de loi P(X=1)=0,2, P(X=2)=0,5, P(X=3)=0,3. Calculer l'écart-type de X.
Voir la correction
- 1.Espérance : E(X) = 1× 0,2 + 2× 0,5 + 3× 0,3 = 2,1. Moyenne des carrés : E(X²) = 1× 0,2 + 4× 0,5 + 9× 0,3 = 4,9.
- 2.Variance (König-Huygens) : V(X) = 4,9 - 2,1² = 4,9 - 4,41 = 0,49.
- 3.
Réponse : σ(X) = 0,7.
Questions fréquentes
C'est quoi l'écart-type, simplement ?
C'est une mesure de l'étalement des résultats autour de la moyenne. Image : pour deux classes ayant la même moyenne, celle où les notes sont toutes proches de la moyenne a un petit écart-type ; celle où il y a beaucoup de très bonnes et de très mauvaises notes a un grand écart-type.
Quelle différence entre variance et écart-type ?
Ils mesurent la même chose (la dispersion), mais la variance est dans l'unité au carré, alors que l'écart-type est dans la même unité que les données. C'est pour ça qu'on préfère souvent l'écart-type pour interpréter : il est plus parlant.
Comment calcule-t-on l'écart-type ?
En deux étapes : on calcule d'abord la variance (souvent avec V(X) = E(X²) − E(X)²), puis on en prend la racine carrée. L'écart-type est donc toujours positif.
Un écart-type peut-il être négatif ?
Non, jamais : c'est une racine carrée, donc toujours positif ou nul. S'il vaut 0, c'est que la variable ne varie pas du tout (elle prend toujours la même valeur).
Pourquoi ajouter une constante ne change pas l'écart-type ?
Parce qu'ajouter le même nombre à toutes les valeurs les décale ensemble, sans les rapprocher ni les éloigner les unes des autres. La dispersion reste identique, donc l'écart-type aussi : σ(X + b) = σ(X).
Notions liées
Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.
Tout sur probabilités en terminale
Dénombrement, probabilités conditionnelles, formule de Bayes, variables aléatoires et loi des grands nombres.
Le cours
Les notions du thème
S'entraîner
Sujets d'examen
Outils et pages dédiées
Le chapitre complet, avec fiche et exercices corrigés en PDF :
Variables aléatoires (lois) — Terminale spé maths →