Formule de Bayes : énoncé et exemple

Ce que dit la formule

La formule de Bayes part de la définition $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ P_B(A) = (P(A ∩ B))/P(B) et utilise $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ P(A ∩ B) = P(A) P_A(B). On obtient $P_{B} (A) = \frac{P ( A ) P _{A} ( B )}{P ( B )}$ P_B(A) = (P(A) P_A(B))/P(B).

Le numérateur est la probabilité du chemin $A$ A puis $B$ B ; le dénominateur $P (B)$ P(B) est la probabilité totale de $B$ B (tous chemins confondus).

Exemple

P (A \cap B) = 0, 2

P(A ∩ B) = 0,2 et

P (B) = 0, 35

P(B) = 0,35, alors

P_{B} (A) = \frac{0 , 2}{0 , 35} = \frac{4}{7} \approx 0, 57

P_B(A) = 0,2/0,35 = 4/7 ≈ 0,57.

Piège à éviter

P_{B} (A) \neq = P_{A} (B)

P_B(A) ≠ P_A(B) : c'est précisément l'erreur que Bayes corrige (le « paradoxe » du test médical).

Les autres formules de la formule de bayes

Formule de Bayes développée →

P_{B} (A) = \frac{P ( A ) P _{A} ( B )}{P ( A ) P _{A} ( B ) + P ( A ) P _{\overline{A}} ( B )}

P_B(A) = (P(A) P_A(B))/(P(A) P_A(B) + P(A̅) P_A̅(B))

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La formule de Bayes →

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