Formule de Bayes développée : énoncé et exemple

Ce que dit la formule

Quand on ne connaît pas directement $P (B)$ P(B), on le remplace par sa décomposition via les probabilités totales : $P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (B)$ P(B) = P(A) P_A(B) + P(A̅) P_A̅(B).

On obtient une formule entièrement exprimée avec les données d'un arbre pondéré : c'est la forme la plus utilisée en exercice.

Exemple

Avec

P (A) = 0, 4

P(A)=0,4,

P_{A} (B) = 0, 5

P_A(B)=0,5,

P (\overline{A}) = 0, 6

P(A̅)=0,6,

P_{\overline{A}} (B) = 0, 25

P_A̅(B)=0,25 :

P_{B} (A) = \frac{0 , 4 \times 0 , 5}{0 , 4 \times 0 , 5 + 0 , 6 \times 0 , 25} = \frac{0 , 2}{0 , 35} = \frac{4}{7}

P_B(A) = (0,4× 0,5)/(0,4× 0,5 + 0,6× 0,25) = 0,2/0,35 = 4/7.

Piège à éviter

Le numérateur doit se retrouver dans le dénominateur : c'est un des termes de la somme des probabilités totales.

Les autres formules de la formule de bayes

Formule de Bayes →

P_{B} (A) = \frac{P ( A ) P _{A} ( B )}{P ( B )}

P_B(A) = (P(A) P_A(B))/P(B)

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