Notion

Les combinaisons

Une combinaison est une façon de choisir $k$ k éléments parmi $n$ n, sans tenir compte de l'ordre. Leur nombre est le coefficient binomial $(k n)$ C(n, k) (lu « $k$ k parmi $n$ n »), qui se calcule par $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ C(n, k) =n!/(k! (n-k)!). Par exemple, le nombre de mains de $5$ 5 cartes parmi $32$ 32 est $(5 32)$ C(32, 5). Contrairement aux arrangements, l'ordre ne compte pas : choisir ${A, B}$ {A,B} ou ${B, A}$ {B,A} est la même combinaison. Les combinaisons vérifient des propriétés remarquables (symétrie, triangle de Pascal) et interviennent directement dans la loi binomiale, où $(k n)$ C(n, k) compte les façons d'obtenir $k$ k succès. C'est un outil clé du dénombrement en terminale.

Définitions

Combinaison: Une combinaison de $k$ k éléments parmi $n$ n est un sous-ensemble de $k$ k éléments : l'ordre ne compte pas. Choisir ${A, B}$ {A, B} ou ${B, A}$ {B, A}, c'est la même combinaison.
Coefficient binomial: Le nombre de combinaisons de $k$ k éléments parmi $n$ n est le coefficient binomial $(k n)$ C(n, k). C'est aussi le coefficient qui apparaît dans la loi binomiale.
Triangle de Pascal: C'est un tableau qui donne les coefficients binomiaux : chaque nombre est la somme des deux situés au-dessus de lui. Il évite les calculs de factorielles.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Formule du coefficient binomial →

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

C(n, k) = n!/(k! (n-k)!)Le nombre de façons de choisir k éléments parmi n.Symétrie des combinaisons →

(k n) = (n - k n)

C(n, k) = C(n, n-k)Choisir k éléments revient à en écarter n − k.Relation de Pascal →

(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)

C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)Chaque coefficient est la somme des deux du dessus.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Calculer une combinaison →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Calculer une combinaison

Niveau 1 · Application directe

Calculer

(2 5)

C(5, 2).

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1.
On applique $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ C(n, k) = n!/(k! (n-k)!) avec $n = 5$ n = 5, $k = 2$ k = 2.
→ Formule du coefficient binomial
2.
$(2 5) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$ C(5, 2) = (5× 4)/(2× 1) = 20/2 = 10.

Réponse :

(2 5) = 10

C(5, 2) = 10.

Méthode utilisée : $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ C(n, k) =n!/(k! (n-k)!).

Utiliser la symétrie

Niveau 2 · Méthode complète

Calculer

(8 10)

C(10, 8) en utilisant la symétrie.

Voir la correction

1.
Symétrie : $(8 10) = (10 - 8 10) = (2 10)$ C(10, 8) = C(10, 10-8) = C(10, 2).
→ Symétrie des combinaisons
2.
$(2 10) = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ C(10, 2) = (10× 9)/2 = 45.

Réponse :

(8 10) = 45

C(10, 8) = 45.

Méthode utilisée : Symétrie $(k n) = (n - k n)$ C(n, k) = C(n, n-k) : $(8 10) = (2 10)$ C(10, 8) = C(10, 2).

Erreur fréquente : Calculer $(8 10)$ C(10, 8) avec $8!$ 8! sans utiliser la symétrie.

Faire les 10 exercices types sur combinaisons8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi une combinaison, simplement ?

C'est une façon de choisir plusieurs éléments sans se soucier de l'ordre. Choisir 3 amis parmi 10 pour une sortie, c'est une combinaison : peu importe dans quel ordre tu les nommes, c'est le même groupe.

Comment lire la notation C(n, k) ou « n parmi k » ?

On lit « k parmi n » : le nombre de façons de choisir k éléments dans un ensemble de n. Par exemple, le nombre de mains de 5 cartes dans un jeu de 32 est « 5 parmi 32 ».

Quelle différence entre combinaison et arrangement ?

Dans une combinaison, l'ordre ne compte pas (une équipe) ; dans un arrangement, il compte (un podium). Pour les mêmes k éléments, il y a k! arrangements mais une seule combinaison.

Pourquoi C(n, k) = C(n, n − k) ?

Parce que choisir les éléments qu'on garde revient à choisir ceux qu'on laisse. Choisir 8 personnes à inviter parmi 10, c'est la même chose que choisir les 2 qu'on n'invite pas : d'où la symétrie.

À quoi servent les combinaisons ?

À compter des choix sans ordre (équipes, mains de cartes, tirages) et surtout dans la loi binomiale, où le coefficient C(n, k) donne le nombre de façons d'obtenir k succès sur n essais.

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