Notion

Le dénombrement

Le dénombrement est l'art de compter le nombre de possibilités d'une situation sans les énumérer une à une. Il fournit les outils pour compter des listes, des arrangements et des combinaisons. On distingue les tirages où l'ordre compte de ceux où il ne compte pas, et les tirages avec ou sans répétition. Les nombres clés sont les factorielles $n!$ n!, les arrangements et les combinaisons $(k n)$ C(n, k), qui comptent les façons de choisir $k$ k éléments parmi $n$ n sans tenir compte de l'ordre. Le dénombrement s'appuie sur le principe multiplicatif : on multiplie les nombres de choix à chaque étape. Il est indispensable en probabilités, notamment pour la loi binomiale.

Définitions

Factorielle: La factorielle de $n$ n, notée $n!$ n!, est le produit de tous les entiers de $1$ 1 à $n$ n : $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1$ n! = n×(n-1)×…× 2× 1. Par convention $0! = 1$ 0! = 1.
Arrangement: Un arrangement est une façon de choisir et d'ordonner $k$ k éléments parmi $n$ n : l'ordre compte. Exemple : un podium (1ᵉʳ, 2ᵉ, 3ᵉ).
Combinaison: Une combinaison est une façon de choisir $k$ k éléments parmi $n$ n sans tenir compte de l'ordre. Exemple : choisir une équipe, une main de cartes. On la note $(k n)$ C(n, k).

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Arrangements et combinaisons →

A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!} (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Aₙ^(k) = n!/((n-k)!) C(n, k) = n!/(k! (n-k)!)Compter avec ou sans ordre, parmi n éléments.Factorielle et permutations →

n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1 (permutations de n objets)

n! = n×(n-1)×…× 1 ( permutations de n objets )Le nombre de façons d'ordonner n objets distincts.Principe multiplicatif →

N = n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}

N = n₁ × n₂ × … × nₖOn multiplie le nombre de choix de chaque étape.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Résoudre un problème de dénombrement →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Choisir une équipe (combinaison)

Niveau 2 · Méthode complète

Combien d'équipes de

2

2 joueurs peut-on former parmi

5

5 joueurs ?

Voir la correction

1.
L'ordre ne compte pas : c'est une combinaison $(2 5)$ C(5, 2).
→ Arrangements et combinaisons
2.
$(2 5) = \frac{5 !}{2 ! 3 !} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12}$ C(5, 2) = 5!/(2! 3!) = 120/(2× 6) = 120/12.
3.
$(2 5) = 10$ C(5, 2) = 10.

Réponse :

10

10 équipes.

Méthode utilisée : Choix non ordonné : $(2 5)$ C(5, 2).

Erreur fréquente : Compter l'ordre (on obtiendrait $20$ 20).

Ranger des objets (permutation)

Niveau 1 · Application directe

De combien de façons peut-on ranger

5

5 livres distincts sur une étagère ?

Voir la correction

1.
On ordonne tous les objets : c'est une permutation, donc $5!$ 5!.
→ Factorielle et permutations
2.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 5! = 5× 4× 3× 2× 1 = 120.

Réponse :

120

120 façons.

Méthode utilisée : Nombre de rangements de $5$ 5 objets : $5!$ 5!.

Erreur fréquente : Calculer $5 \times 5$ 5× 5 au lieu de $5!$ 5!.

Faire les 10 exercices types sur dénombrement8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi le dénombrement, simplement ?

C'est compter le nombre de possibilités d'une situation sans avoir à toutes les écrire. Par exemple : combien de codes de carte bancaire existe-t-il, combien d'équipes peut-on former… On utilise des formules pour aller vite.

Combinaison ou arrangement : comment choisir ?

Tout dépend de l'ordre. Si changer l'ordre donne une nouvelle possibilité (un podium, un code), c'est un arrangement. Si l'ordre ne change rien (une équipe, une main de cartes), c'est une combinaison.

C'est quoi la factorielle ?

C'est le produit de tous les entiers jusqu'à n, noté n!. Par exemple 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Elle compte le nombre de façons de ranger n objets dans un ordre.

C'est quoi le principe multiplicatif ?

Quand une situation se fait en plusieurs étapes, on multiplie le nombre de choix de chaque étape. Pour un menu avec 3 entrées et 4 plats, ça fait 3 × 4 = 12 menus possibles.

À quoi sert le dénombrement ?

Surtout à calculer des probabilités : pour connaître la probabilité d'un événement, il faut souvent compter les cas favorables et les cas possibles. Le dénombrement fournit ces nombres.

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