Exercices types · Terminale spé maths

La variance — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Variance d'une loi donnée

Niveau 1 · Application directe

Une variable aléatoire

X

X a pour loi :

P (X = 0) = 0, 5

P(X=0)=0,5,

P (X = 1) = 0, 3

P(X=1)=0,3,

P (X = 4) = 0, 2

P(X=4)=0,2. Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de

X

Voir la correction

1.
Espérance : $E (X) = 0 \times 0, 5 + 1 \times 0, 3 + 4 \times 0, 2 = 0 + 0, 3 + 0, 8 = 1, 1$ E(X)=0× 0,5 + 1× 0,3 + 4× 0,2 = 0 + 0,3 + 0,8 = 1,1.
2.
Moyenne des carrés : $E (X^{2}) = 0^{2} \times 0, 5 + 1^{2} \times 0, 3 + 4^{2} \times 0, 2 = 0 + 0, 3 + 3, 2 = 3, 5$ E(X²)=0²× 0,5 + 1²× 0,3 + 4²× 0,2 = 0 + 0,3 + 3,2 = 3,5.
3.
Variance par König-Huygens : $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 3, 5 - 1, 1^{2} = 3, 5 - 1, 21 = 2, 29$ V(X)=E(X²)-(E(X))² = 3,5 - 1,1² = 3,5 - 1,21 = 2,29.
→ Formule de König-Huygens
4.
Écart-type : $σ (X) = 2, 29 \approx 1, 51$ σ(X)=√(2,29)≈ 1,51.
→ Formule de König-Huygens

Réponse :

E (X) = 1, 1

E(X)=1,1 ;

V (X) = 2, 29

V(X)=2,29 ;

σ (X) \approx 1, 51

σ(X)≈ 1,51.

Méthode utilisée : On calcule $E (X)$ E(X), puis $E (X^{2})$ E(X²), enfin $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ V(X)=E(X²)-E(X)².

Erreur fréquente : Confondre $E (X^{2})$ E(X²) (moyenne des carrés) et $E (X)^{2}$ E(X)² (carré de la moyenne).

Variance d'un dé équilibré

Niveau 2 · Méthode complète

On lance un dé équilibré à 6 faces et on note

X

X le numéro obtenu. Déterminer la variance de

X

X sous forme de fraction, puis une valeur approchée de l'écart-type.

Voir la correction

1.
Chaque face a la probabilité $\frac{1}{6}$ 1/6. Espérance : $E (X) = \frac{1}{6} (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ E(X)=1/6(1+2+3+4+5+6)=21/6=7/2.
2.
Moyenne des carrés : $E (X^{2}) = \frac{1}{6} (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6}$ E(X²)=1/6(1+4+9+16+25+36)=91/6.
3.
König-Huygens : $V (X) = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^{2} = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$ V(X)=91/6-(7/2)²=91/6-49/4=(182-147)/12=35/12.
→ Formule de König-Huygens
4.
Écart-type : $σ (X) = \frac{35}{12} \approx 1, 71$ σ(X)=√(35/12)≈ 1,71.
→ Formule de König-Huygens

Réponse :

V (X) = \frac{35}{12} \approx 2, 92

V(X)=35/12≈ 2,92 et

σ (X) \approx 1, 71

σ(X)≈ 1,71.

Effet d'une transformation affine

Niveau 2 · Méthode complète

Une variable

X

X vérifie

V (X) = 0, 49

V(X)=0,49. On pose

Y = 2 X + 3

Y=2X+3. Calculer

V (Y)

V(Y) et

σ (Y)

σ(Y).

Voir la correction

1.
La constante $+ 3$ +3 ne change pas la dispersion : on l'ignore pour la variance. Le coefficient $2$ 2 passe au carré.
→ Variance d'une transformation affine aX + b
2.
Variance : $V (Y) = V (2 X + 3) = 2^{2} V (X) = 4 \times 0, 49 = 1, 96$ V(Y)=V(2X+3)=2² V(X)=4× 0,49=1,96.
3.
Écart-type : $σ (Y) = 1, 96 = 1, 4$ σ(Y)=√(1,96)=1,4 (on retrouve $∣ a ∣ σ (X) = 2 \times 0, 7 = 1, 4$ |a| σ(X)=2× 0,7=1,4).
→ Formule de König-Huygens

Réponse :

V (Y) = 1, 96

V(Y)=1,96 et

σ (Y) = 1, 4

σ(Y)=1,4.

Méthode utilisée : $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ V(aX+b)=a²V(X).

Erreur fréquente : Écrire $V (2 X + 3) = 2 V (X) + 3$ V(2X+3)=2V(X)+3 : la constante disparaît, $a$ a passe au carré.

Variance d'une loi binomiale

Niveau 2 · Méthode complète

Une variable aléatoire

X

X suit la loi binomiale

B (10; 0, 3)

B (10 ; 0,3). Donner son espérance, sa variance et son écart-type.

Voir la correction

1.
Espérance d'une loi binomiale : $E (X) = n p = 10 \times 0, 3 = 3$ E(X)=np=10× 0,3=3.
2.
Variance d'une loi binomiale : $V (X) = n p (1 - p) = 10 \times 0, 3 \times 0, 7 = 2, 1$ V(X)=np(1-p)=10× 0,3× 0,7=2,1.
→ Variance de la loi binomiale
3.
Écart-type : $σ (X) = 2, 1 \approx 1, 45$ σ(X)=√(2,1)≈ 1,45.
→ Formule de König-Huygens

Réponse :

E (X) = 3

E(X)=3 ;

V (X) = 2, 1

V(X)=2,1 ;

σ (X) \approx 1, 45

σ(X)≈ 1,45.

Méthode utilisée : $V (X) = n p (1 - p)$ V(X)=np(1-p) pour la loi binomiale.

Variance d'une loi à quatre valeurs

Niveau 2 · Méthode complète

Une variable

X

X a pour loi :

P (X = 0) = 0, 1

P(X=0)=0,1,

P (X = 1) = 0, 4

P(X=1)=0,4,

P (X = 2) = 0, 3

P(X=2)=0,3,

P (X = 3) = 0, 2

P(X=3)=0,2. Calculer

V (X)

V(X).

Voir la correction

1.
Vérification : $0, 1 + 0, 4 + 0, 3 + 0, 2 = 1$ 0,1 + 0,4 + 0,3 + 0,2 = 1 ✓.
2.
Espérance : $E (X) = 0 \times 0, 1 + 1 \times 0, 4 + 2 \times 0, 3 + 3 \times 0, 2 = 1, 6$ E(X) = 0× 0,1 + 1× 0,4 + 2× 0,3 + 3× 0,2 = 1,6.
3.
Moyenne des carrés : $E (X^{2}) = 0 + 1 \times 0, 4 + 4 \times 0, 3 + 9 \times 0, 2 = 3, 4$ E(X²) = 0 + 1× 0,4 + 4× 0,3 + 9× 0,2 = 3,4.
4.
König-Huygens : $V (X) = 3, 4 - 1, 6^{2} = 3, 4 - 2, 56 = 0, 84$ V(X) = 3,4 - 1,6² = 3,4 - 2,56 = 0,84.
→ Formule de König-Huygens

Réponse :

V (X) = 0, 84

V(X) = 0,84.

Problème : variance d'un jeu

Niveau 3 · Type contrôle

À un jeu, le gain

X

X (en €) vaut

- 1

-1 avec probabilité

0, 5

0,5,

2

2 avec probabilité

0, 3

0,3 et

5

5 avec probabilité

0, 2

0,2. Calculer l'espérance puis la variance et l'écart-type du gain.

Voir la correction

1.
Espérance : $E (X) = - 1 \times 0, 5 + 2 \times 0, 3 + 5 \times 0, 2 = - 0, 5 + 0, 6 + 1 = 1, 1$ E(X) = -1× 0,5 + 2× 0,3 + 5× 0,2 = -0,5 + 0,6 + 1 = 1,1 € (jeu favorable).
2.
Moyenne des carrés : $E (X^{2}) = 1 \times 0, 5 + 4 \times 0, 3 + 25 \times 0, 2 = 0, 5 + 1, 2 + 5 = 6, 7$ E(X²) = 1× 0,5 + 4× 0,3 + 25× 0,2 = 0,5 + 1,2 + 5 = 6,7.
3.
Variance : $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = 6, 7 - 1, 1^{2} = 6, 7 - 1, 21 = 5, 49$ V(X) = E(X²) - E(X)² = 6,7 - 1,1² = 6,7 - 1,21 = 5,49.
→ Formule de König-Huygens
4.
Écart-type : $σ (X) = 5, 49 \approx 2, 34$ σ(X) = √(5,49) ≈ 2,34 € : le gain est très dispersé autour de $1, 1$ 1,1 €.

Réponse :

E (X) = 1, 1

E(X) = 1,1 € ;

V (X) = 5, 49

V(X) = 5,49 ;

σ (X) \approx 2, 34

σ(X) ≈ 2,34 €.

Dé équilibré à 4 faces

Niveau 2 · Méthode complète

On lance un dé équilibré à

4

4 faces (numéros

1, 2, 3, 4

1, 2, 3, 4) et on note

X

X le résultat. Calculer la variance de

X

Voir la correction

1.
Chaque face a la probabilité $\frac{1}{4}$ 1/4. $E (X) = \frac{1}{4} (1 + 2 + 3 + 4) = \frac{10}{4} = 2, 5$ E(X) = 1/4(1+2+3+4) = 10/4 = 2,5.
2.
$E (X^{2}) = \frac{1}{4} (1 + 4 + 9 + 16) = \frac{30}{4} = 7, 5$ E(X²) = 1/4(1+4+9+16) = 30/4 = 7,5.
3.
$V (X) = 7, 5 - 2, 5^{2} = 7, 5 - 6, 25 = 1, 25$ V(X) = 7,5 - 2,5² = 7,5 - 6,25 = 1,25.
→ Formule de König-Huygens

Réponse :

V (X) = 1, 25

V(X) = 1,25.

Transformation aX + b

Niveau 2 · Méthode complète

Une variable

X

X vérifie

V (X) = 2

V(X) = 2. On pose

Y = 3 X - 1

Y = 3X - 1. Calculer

V (Y)

V(Y).

Voir la correction

1.
La constante $- 1$ -1 ne change pas la dispersion, le coefficient $3$ 3 passe au carré.
→ Variance d'une transformation affine aX + b
2.
$V (Y) = 3^{2} \times V (X) = 9 \times 2 = 18$ V(Y) = 3²× V(X) = 9× 2 = 18.

Réponse :

V (Y) = 18

V(Y) = 18.

Erreur fréquente : $V (3 X - 1) = 3^{2} \times 2 = 18$ V(3X-1)=3²× 2=18, pas $3 \times 2$ 3× 2.

König-Huygens direct

Niveau 1 · Application directe

On sait que

E (X) = 5

E(X) = 5 et

E (X^{2}) = 30

E(X²) = 30. Calculer

V (X)

V(X).

Voir la correction

1.
On applique directement $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ V(X) = E(X²) - E(X)².
→ Formule de König-Huygens
2.
$V (X) = 30 - 5^{2} = 30 - 25 = 5$ V(X) = 30 - 5² = 30 - 25 = 5.

Réponse :

V (X) = 5

V(X) = 5.

Méthode utilisée : König-Huygens : $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ V(X)=E(X²)-E(X)².

Erreur fréquente : Calculer $30 - 5$ 30-5 au lieu de $30 - 5^{2} = 30 - 25$ 30-5²=30-25.

Problème : contrôle qualité

Niveau 3 · Type contrôle

Dans un lot, chaque pièce est défectueuse avec probabilité

0, 1

0,1, indépendamment des autres. On prélève

20

20 pièces et

X

X compte les défectueuses. Donner l'espérance, la variance et l'écart-type de

X

Voir la correction

1.
$X$ X suit la loi binomiale $B (20; 0, 1)$ B (20 ; 0,1) (épreuves identiques et indépendantes).
2.
Espérance : $E (X) = n p = 20 \times 0, 1 = 2$ E(X) = np = 20× 0,1 = 2 pièces défectueuses en moyenne.
3.
Variance : $V (X) = n p (1 - p) = 20 \times 0, 1 \times 0, 9 = 1, 8$ V(X) = np(1-p) = 20× 0,1× 0,9 = 1,8.
→ Variance de la loi binomiale
4.
Écart-type : $σ (X) = 1, 8 \approx 1, 34$ σ(X) = √(1,8) ≈ 1,34.

Réponse :

E (X) = 2

E(X) = 2 ;

V (X) = 1, 8

V(X) = 1,8 ;

σ (X) \approx 1, 34

σ(X) ≈ 1,34.

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