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Méthode · Terminale spé maths

Calculer une combinaison

Calculer un coefficient binomial revient à compter le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, sans tenir compte de l'ordre. On applique la formule sous sa forme simplifiée — k facteurs décroissants au numérateur, k! au dénominateur — plutôt que la forme à trois factorielles, beaucoup plus lourde. Quand k est proche de n, la symétrie permet de le remplacer par n-k et de diviser le nombre de calculs. Le résultat est toujours un entier : s'il ne l'est pas, il y a une erreur.

Les étapes

  1. 1

    Utiliser la symétrie si utile

    Si k est proche de n, on remplace par C(n, n-k), plus rapide à calculer.
  2. 2

    Appliquer la formule

    On écrit C(n, k) = (n×(n-1)×…)/k! avec k facteurs au numérateur.
  3. 3

    Simplifier

    On simplifie la fraction pour obtenir un entier (un coefficient binomial est toujours un entier).

Exemple corrigé

Calculer C(10, 8).

  1. 1.Par symétrie : C(10, 8) = C(10, 2).
  2. 2.C(10, 2) = (10× 9)/(2× 1) = 90/2.
  3. 3.C(10, 2) = 45.
Résultat : C(10, 8) = 45.

Deuxième exemple

Calculer le nombre de mains de 5 cartes dans un jeu de 32.

  1. 1.Il s'agit de C(32, 5), puisque l'ordre des cartes ne compte pas.
  2. 2.C(32, 5) = (32 × 31 × 30 × 29 × 28)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1).
  3. 3.Le numérateur vaut 24 165 120 et le dénominateur 120.
Résultat : 201 376 mains possibles.

Piège à éviter

Le résultat doit être un entier : s'il ne l'est pas, il y a une erreur de calcul.

Questions fréquentes

Combien de facteurs faut-il au numérateur ?
Exactement k, en partant de n et en descendant : pour C(32, 5), ce sont 32, 31, 30, 29 et 28.
Comment savoir s'il faut une combinaison ou un arrangement ?
Si l'ordre compte, c'est un arrangement ; s'il ne compte pas, une combinaison. Une main de cartes ne dépend pas de l'ordre de distribution.
Que faire quand les nombres deviennent grands ?
On simplifie avant de multiplier : diviser au fur et à mesure évite de manipuler des nombres énormes.

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