Exercices types · Terminale spé maths

Les combinaisons — exercices types corrigés

10 exercices classés par difficulté. Cherche d'abord par toi-même, puis clique sur « Voir la correction » : chaque étape est détaillée et renvoie vers la formule utilisée.

Calculer une combinaison

Niveau 1 · Application directe

Calculer

(2 5)

C(5, 2).

Voir la correction

1.
On applique $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ C(n, k) = n!/(k! (n-k)!) avec $n = 5$ n = 5, $k = 2$ k = 2.
→ Formule du coefficient binomial
2.
$(2 5) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$ C(5, 2) = (5× 4)/(2× 1) = 20/2 = 10.

Réponse :

(2 5) = 10

C(5, 2) = 10.

Méthode utilisée : $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ C(n, k) =n!/(k! (n-k)!).

Utiliser la symétrie

Niveau 2 · Méthode complète

Calculer

(8 10)

C(10, 8) en utilisant la symétrie.

Voir la correction

1.
Symétrie : $(8 10) = (10 - 8 10) = (2 10)$ C(10, 8) = C(10, 10-8) = C(10, 2).
→ Symétrie des combinaisons
2.
$(2 10) = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ C(10, 2) = (10× 9)/2 = 45.

Réponse :

(8 10) = 45

C(10, 8) = 45.

Méthode utilisée : Symétrie $(k n) = (n - k n)$ C(n, k) = C(n, n-k) : $(8 10) = (2 10)$ C(10, 8) = C(10, 2).

Erreur fréquente : Calculer $(8 10)$ C(10, 8) avec $8!$ 8! sans utiliser la symétrie.

Vérifier avec la relation de Pascal

Niveau 2 · Méthode complète

Vérifier que

(2 5) = (1 4) + (2 4)

C(5, 2) = C(4, 1) + C(4, 2).

Voir la correction

1.
Relation de Pascal : $(2 5) = (1 4) + (2 4)$ C(5, 2) = C(4, 1) + C(4, 2).
→ Relation de Pascal
2.
$(1 4) = 4$ C(4, 1) = 4 et $(2 4) = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ C(4, 2) = (4× 3)/2 = 6, donc la somme vaut $4 + 6 = 10$ 4 + 6 = 10.
3.
Or $(2 5) = 10$ C(5, 2) = 10 : l'égalité est vérifiée.

Réponse :

(1 4) + (2 4) = 4 + 6 = 10 = (2 5)

C(4, 1) + C(4, 2) = 4 + 6 = 10 = C(5, 2) ✓.

Méthode utilisée : Relation de Pascal $(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)$ C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k).

Application : choisir un comité

Niveau 2 · Méthode complète

Dans un groupe de

10

10 personnes, combien de comités de

3

3 personnes peut-on former ?

Voir la correction

1.
L'ordre ne compte pas : c'est une combinaison $(3 10)$ C(10, 3).
→ Formule du coefficient binomial
2.
$(3 10) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6}$ C(10, 3) = (10× 9× 8)/(3× 2× 1) = 720/6.
3.
$(3 10) = 120$ C(10, 3) = 120.

Réponse :

120

120 comités possibles.

Méthode utilisée : Choix non ordonné : $(3 10)$ C(10, 3).

Erreur fréquente : Compter l'ordre (ce serait un arrangement).

Combinaison simple

Niveau 1 · Application directe

Calculer

(2 5)

C(5, 2).

Voir la correction

1.
$(2 5) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1}$ C(5, 2) =(5× 4)/(2× 1).
→ Formule du coefficient binomial
2.
$= 10$ =10.

Réponse :

10

10.

Méthode utilisée : $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ C(n, k) =n!/(k! (n-k)!).

Erreur fréquente : Tenir compte de l'ordre (ce serait un arrangement).

Cas extrêmes

Niveau 1 · Application directe

Donner

(0 6)

C(6, 0) et

(6 6)

C(6, 6).

Voir la correction

1.
$(0 6) = 1$ C(6, 0) =1 et $(6 6) = 1$ C(6, 6) =1.

Réponse :

1

1 et

1

Méthode utilisée : Choisir aucun ou tous les éléments : une seule façon.

Erreur fréquente : Répondre $0$ 0 ou $6$ 6.

Mains de cartes

Niveau 2 · Méthode complète

Combien de mains de

5

5 cartes peut-on tirer d'un jeu de

32

32 cartes ?

Voir la correction

1.
$(5 32) = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5 !}$ C(32, 5) =(32× 31× 30× 29× 28)/5!.
→ Formule du coefficient binomial
2.
$= 201376$ =201 376.

Réponse :

201376

201 376.

Méthode utilisée : Choix non ordonné : combinaison.

Erreur fréquente : Compter l'ordre des cartes.

Choisir des délégués (type contrôle)

Niveau 3 · Type contrôle

Dans une classe de

28

28 élèves, combien de façons de choisir

2

2 délégués ?

Voir la correction

1.
$(2 28) = \frac{28 \times 27}{2}$ C(28, 2) =(28× 27)/2.
→ Formule du coefficient binomial
2.
$= 378$ =378.

Réponse :

378

378.

Méthode utilisée : L'ordre des deux délégués n'importe pas : combinaison.

Erreur fréquente : Calculer $28 \times 27 = 756$ 28× 27=756 (arrangement).

Calcul

Niveau 2 · Méthode complète

Calculer

(2 7)

C(7, 2).

Voir la correction

1.
$\frac{7 \times 6}{2} = 21$ (7× 6)/2=21.
→ Formule du coefficient binomial

Réponse :

21

21.

Méthode utilisée : $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ C(n, k) =n!/(k!(n-k)!).

Erreur fréquente : Tenir compte de l'ordre.

Tirage de boules

Niveau 3 · Type contrôle

De combien de façons tirer

3

3 boules parmi

10

10 (sans ordre) ?

Voir la correction

1.
$(3 10) = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120$ C(10, 3) =(10× 9× 8)/6=120.
→ Formule du coefficient binomial

Réponse :

120

120.

Méthode utilisée : Choix non ordonné : combinaison.

Erreur fréquente : Calculer $10 \times 9 \times 8$ 10× 9× 8 (arrangement).

Tout sur probabilités en terminale

Dénombrement, probabilités conditionnelles, formule de Bayes, variables aléatoires et loi des grands nombres.

Besoin de revoir le cours avant de t'entraîner ?

Cours : Les combinaisons →Combinatoire et dénombrement (PDF) →

Les combinaisons — exercices types corrigés

Calculer une combinaison

Utiliser la symétrie

Vérifier avec la relation de Pascal

Application : choisir un comité

Combinaison simple

Cas extrêmes

Mains de cartes

Choisir des délégués (type contrôle)

Calcul

Tirage de boules

Tout sur probabilités en terminale

Le cours

Les notions du thème

S'entraîner

Sujets d'examen

Outils et pages dédiées