Comment démontrer que deux droites sont parallèles ? Méthode et exemples

Les étapes

1
Mettre sous forme comparable
On lit les coefficients directeurs (ou les vecteurs directeurs).
2
Comparer
Parallèles $⟺ m = m^{'}$ ⇔ m = m' (ou directeurs colinéaires).
3
Préciser
Si en plus $p = p^{'}$ p = p', les droites sont confondues.

Les droites $d : y = 2 x + 1$ d : y = 2x + 1 et $d^{'} : y = 2 x - 3$ d' : y = 2x - 3 sont-elles parallèles ?

1.Coefficients directeurs : $m = 2$ m = 2 et $m^{'} = 2$ m' = 2.
2. $m = m^{'}$ m = m' : les droites sont parallèles.
3. $p = 1 \neq = - 3 = p^{'}$ p = 1 ≠ -3 = p' : elles sont strictement parallèles.

Résultat : Oui, strictement parallèles.

Les droites $d : y = - 3 x + 2$ d : y = -3x + 2 et $d^{'} : 6 x + 2 y = 4$ d' : 6x + 2y = 4 sont-elles parallèles ?

1.On réduit $d^{'}$ d' : $2 y = - 6 x + 4$ 2y = -6x + 4, donc $y = - 3 x + 2$ y = -3x + 2.
2.Les deux coefficients directeurs valent $- 3$ -3.
3.Les ordonnées à l'origine valent $2$ 2 toutes les deux.

Résultat : Les droites sont confondues.

Pour des formes cartésiennes, comparer les vecteurs directeurs, pas directement

a

a et

b

Faut-il conclure « parallèles » ou « strictement parallèles » ?

On précise toujours : mêmes

m

m et

p

p différents donnent des droites strictement parallèles ; mêmes

m

m et même

p

p, des droites confondues.

Comment traiter une équation cartésienne ?

On la réduit sous la forme

y = m x + p

y = mx + p, ou l'on compare directement les vecteurs directeurs, ce qui évite les fractions.

Deux droites confondues sont-elles parallèles ?

Oui au sens large, elles ont la même direction. Mais on précise « confondues », car elles ont une infinité de points communs.

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Coordonnées, vecteurs, distances, milieux et équations de droites : toute la géométrie analytique de Seconde.