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Méthode · Première spé maths

Démontrer que deux droites sont perpendiculaires

Démontrer que deux droites sont perpendiculaires, c'est vérifier une égalité numérique, pas mesurer un angle. On relève les coefficients directeurs des deux droites, on les multiplie, et on conclut si le produit vaut exactement -1. La rédaction attendue mentionne le repère orthonormé, car le critère n'est valable que dans ce cadre. Si l'une des droites est verticale, elle n'a pas de coefficient directeur et il faut raisonner autrement.

Les étapes pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires

  1. 1

    Lire les coefficients directeurs

    On relève m et m'.
  2. 2

    Multiplier

    On calcule m × m'.
  3. 3

    Conclure

    m × m' = -1 ⇒ perpendiculaires.

Exemple corrigé : démontrer que deux droites sont perpendiculaires

Les droites y = 2x + 1 et y = -1/2x + 4 sont-elles perpendiculaires ?

  1. 1.m = 2, m' = -1/2.
  2. 2.m × m' = 2 × (-1/2) = -1.
  3. 3.Le produit vaut -1 : les droites sont perpendiculaires.
Résultat : Oui, perpendiculaires.

Deuxième exemple

Les droites d : y = 0,5x - 2 et d' : y = -2x + 1 sont-elles perpendiculaires ?

  1. 1.m = 0,5 et m' = -2.
  2. 2.m × m' = 0,5 × (-2) = -1.
  3. 3.Le produit vaut -1 : dans un repère orthonormé, les droites sont perpendiculaires.
Résultat : Oui, elles sont perpendiculaires.

Piège à éviter avec les droites perpendiculaires

La condition m m' = -1 suppose un repère orthonormé.

Questions fréquentes sur les droites perpendiculaires

Que faut-il écrire dans la rédaction ?
Les deux coefficients, leur produit, la valeur -1 obtenue, et la mention du repère orthonormé. C'est cette dernière qu'on oublie le plus souvent.
Que conclure si le produit ne vaut pas −1 ?
Que les droites ne sont pas perpendiculaires. Aucune autre valeur du produit n'a de signification particulière.
Comment faire si une droite est verticale ?
Une verticale d'équation x = k est perpendiculaire à toute horizontale y = c. Le critère du produit ne s'applique pas, faute de coefficient directeur.

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