Comment étudier la position relative de deux droites ? Méthode et exemples

Les étapes

1
Comparer les pentes
$m \neq = m^{'}$ m ≠ m' → sécantes (on s'arrête).
2
Si même pente, comparer p
$m = m^{'}$ m = m' : $p \neq = p^{'}$ p ≠ p' → strictement parallèles ; $p = p^{'}$ p = p' → confondues.
3
Point d'intersection éventuel
Si sécantes, on résout le système pour trouver le point commun.

Étudier la position relative de $d : y = 2 x + 1$ d : y = 2x + 1 et $d^{'} : y = 3 x - 4$ d' : y = 3x - 4.

1. $m = 2$ m = 2, $m^{'} = 3$ m' = 3 : $m \neq = m^{'}$ m ≠ m'.
2.Les droites sont sécantes.
3.Intersection : $2 x + 1 = 3 x - 4 \Rightarrow x = 5$ 2x + 1 = 3x - 4 ⇒ x = 5, puis $y = 11$ y = 11. Point $(5; 11)$ (5 ;11).

Résultat : Sécantes en

(5; 11)

(5 ;11).

Étudier la position relative de $d : y = - 0, 5 x + 3$ d : y = -0,5x + 3 et $d^{'} : x + 2 y - 8 = 0$ d' : x + 2y - 8 = 0.

1.On réduit $d^{'}$ d' : $2 y = - x + 8$ 2y = -x + 8, donc $y = - 0, 5 x + 4$ y = -0,5x + 4.
2.Les coefficients directeurs valent $- 0, 5$ -0,5 tous les deux.
3.Les ordonnées à l'origine diffèrent : $3$ 3 et $4$ 4.

Résultat : Les droites sont strictement parallèles.

Comparer

p

p seulement quand

m = m^{'}

m = m' : sinon, c'est inutile (déjà sécantes).

Faut-il toujours calculer le point d'intersection ?

Seulement si l'énoncé le demande, et uniquement dans le cas sécant. Pour des droites parallèles, il n'existe pas.

Comment traiter des équations cartésiennes ?

On les réduit toutes les deux, ou l'on compare directement les vecteurs directeurs par un déterminant.

Que donne le système dans le cas parallèle ?

Aucune solution si les droites sont strictement parallèles, une infinité si elles sont confondues.

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Coordonnées, vecteurs, distances, milieux et équations de droites : toute la géométrie analytique de Seconde.