Une probabilité conditionnelle répond à la question « sachant que… ». En STI2D, elle intervient dès que deux critères se croisent : une pièce défectueuse selon la ligne de production, un capteur en panne selon le lot d'origine.

Au programme : la probabilité de $B$ B sachant $A$ A, $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ P_A(B)=(P(A∩ B))/P(A), lue sur un tableau croisé d'effectifs ou sur un arbre pondéré ; l'indépendance de deux évènements, définie par $P_{A} (B) = P (B)$ P_A(B)=P(B) et équivalente à $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ P(A∩ B)=P(A)× P(B) ; la formule des probabilités totales dans les cas simples.

Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches, et celle d'un évènement la somme des chemins qui y mènent. Piège récurrent : confondre indépendants et incompatibles — deux évènements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque $P (A \cap B) = 0$ P(A∩ B)=0.

Probabilités conditionnelles et indépendance en Première STI2D : cours complet

Probabilités conditionnelles

Définition — Probabilité de $B$ B sachant $A$ A. Pour un événement $A$ A de probabilité non nulle : $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} d’o \overset{u}{ˋ} P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) . P_A(B) = (P(A \cap B))/P(A) d'où P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B).$ Dans un tirage au hasard dans une population, $P_{A} (B)$ P_A(B) est la proportion d'individus de $B$ B parmi ceux de $A$ A.

Exemple — Pièces de deux machines. Un atelier a produit $500$ 500 pièces :

	Défectueuse ( $D$ D)	Conforme	Total
Machine $M_{1}$ M₁	$12$ 12	$288$ 288	$300$ 300
Machine $M_{2}$ M₂	$16$ 16	$184$ 184	$200$ 200
Total	$28$ 28	$472$ 472	$500$ 500

On prélève une pièce au hasard :

$P (M_{1} \cap D) = \frac{12}{500} = 0, 024$ P(M₁ ∩ D) = 12/500 = 0,024 : la pièce vient de $M_{1}$ M₁ et est défectueuse ;
$P_{M_{1}} (D) = \frac{12}{300} = 0, 04$ P_M₁(D) = 12/300 = 0,04 : parmi les pièces de $M_{1}$ M₁, $4 %$ 4 % sont défectueuses ;
$P_{D} (M_{1}) = \frac{12}{28} \approx 0, 43$ P_D(M₁) = 12/28 ≈ 0,43 : parmi les pièces défectueuses, $43 %$ 43 % viennent de $M_{1}$ M₁.

Méthode — Lire le bon dénominateur. « Parmi les $A$ A » : on divise par l'effectif de $A$ A (sa marge). « $A$ A et $B$ B » : on divise par l'effectif total.

Arbres pondérés et probabilités totales

Propriété — Règles des arbres.

Les branches issues d'un même nœud totalisent $1$ 1 ; au second niveau, elles portent des probabilités conditionnelles.
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
La probabilité d'un événement réalisé par plusieurs chemins est la somme de leurs probabilités.

L'atelier en arbre : $60 %$ 60 % des pièces viennent de $M_{1}$ M₁, $40 %$ 40 % de $M_{2}$ M₂.

Propriété — Formule des probabilités totales. Les événements $A$ A et $\overline{A}$ A̅ partagent l'univers, donc pour tout événement $B$ B : $P (B) = P (A \cap B) + P (\overline{A} \cap B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (B) P(B) = P(A \cap B) + P(A̅ \cap B) = P(A)P_A(B) + P(A̅)P_A̅(B)$ Sur l'arbre : on additionne les chemins qui mènent à $B$ B.

Exemple. $P (D) = 0, 024 + 0, 032 = 0, 056$ P(D) = 0,024 + 0,032 = 0,056 (on retrouve $\frac{28}{500}$ 28/500). Une pièce est défectueuse : elle vient de $M_{1}$ M₁ avec la probabilité $P_{D} (M_{1}) = \frac{0 , 024}{0 , 056} \approx 0, 43$ P_D(M₁) = 0,024/0,056 ≈ 0,43.

Méthode — Inverser le conditionnement. On connaît $P_{A} (B)$ P_A(B) et l'on cherche $P_{B} (A)$ P_B(A) : on calcule $P (A \cap B)$ P(A ∩ B) (un chemin), puis $P (B)$ P(B) (probabilités totales), et enfin $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ P_B(A) = (P(A ∩ B))/P(B).

Indépendance de deux événements

Définition — Événements indépendants. Pour $P (A) \neq = 0$ P(A) ≠ 0, l'événement $B$ B est indépendant de $A$ A si $P_{A} (B) = P (B)$ P_A(B) = P(B) : savoir que $A$ A est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ B.

Propriété — Caractérisation et symétrie. Pour $P (A) \neq = 0$ P(A) ≠ 0 et $P (B) \neq = 0$ P(B) ≠ 0 : $P_{A} (B) = P (B) ⟺ P (A \cap B) = P (A) \times P (B) ⟺ P_{B} (A) = P (A) . P_A(B) = P(B) \Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \Leftrightarrow P_B(A) = P(A).$ L'indépendance est donc symétrique : on dit que $A$ A et $B$ B sont indépendants.

Démonstration. Si $P_{A} (B) = P (B)$ P_A(B) = P(B), alors $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B) = P (A) P (B)$ P(A ∩ B) = P(A)P_A(B) = P(A)P(B), puis $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{P ( A ) P ( B )}{P ( B )} = P (A)$ P_B(A) = (P(A ∩ B))/P(B) = P(A)P(B)/P(B) = P(A). Le raisonnement se fait de même dans l'autre sens.

Exemple — Justifier une dépendance. Dans l'atelier, $P (D) = 0, 056$ P(D) = 0,056 mais $P_{M_{1}} (D) = 0, 04$ P_M₁(D) = 0,04 : $P_{M_{1}} (D) \neq = P (D)$ P_M₁(D) ≠ P(D), donc $D$ D et $M_{1}$ M₁ ne sont pas indépendants (la machine $M_{1}$ M₁ produit moins de défauts que la moyenne).

Exemple — Utiliser une indépendance : fiabilité. Deux composants tombent en panne de façon indépendante, $C_{1}$ C₁ avec la probabilité $0, 02$ 0,02 et $C_{2}$ C₂ avec la probabilité $0, 05$ 0,05 sur un an.

Montage en série (le système fonctionne si les deux fonctionnent) : $P = 0, 98 \times 0, 95 = 0, 931$ P = 0,98 × 0,95 = 0,931.
Montage en parallèle (il tombe en panne seulement si les deux tombent en panne) : $P (panne) = 0, 02 \times 0, 05 = 0, 001$ P( panne ) = 0,02 × 0,05 = 0,001, donc il fonctionne avec la probabilité $0, 999$ 0,999.

Attention — Indépendants ou incompatibles ?. Incompatibles : $A \cap B = \emptyset$ A ∩ B = ∅, ils ne peuvent pas se produire ensemble. Indépendants : l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants ( $P (A \cap B) = 0 \neq = P (A) P (B)$ P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A)P(B)).

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

Confondre $P (A \cap B)$ P(A ∩ B), $P_{A} (B)$ P_A(B) et $P_{B} (A)$ P_B(A).
Placer une probabilité non conditionnelle sur une branche du second niveau.
Oublier un chemin dans la formule des probabilités totales.
Confondre indépendants et incompatibles.

Fiche de synthèse

Conditionnelle	$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ P_A(B) = (P(A ∩ B))/P(A) ; tableau : case / marge de $A$ A
Arbre	branches d'un nœud : somme $1$ 1 ; chemin : produit ; plusieurs chemins : somme
Probabilités totales	$P (B) = P (A) P_{A} (B) + P (\overline{A}) P_{\overline{A}} (B)$ P(B) = P(A)P_A(B) + P(A̅)P_A̅(B)
Indépendance	$P_{A} (B) = P (B) ⟺ P (A \cap B) = P (A) P (B)$ P_A(B) = P(B) ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B) ; symétrique
Fiabilité	série : produit des fiabilités ; parallèle : panne si toutes en panne

Exercices d'application

Exercice 1 – Tableau croisé

Avec le tableau de l'atelier, calculer $P_{M_{2}} (D)$ P_M₂(D) et $P_{D} (M_{2})$ P_D(M₂).

Exercice 2 – Indépendance

$P (A) = 0, 3$ P(A) = 0,3, $P (B) = 0, 5$ P(B) = 0,5 et $P (A \cap B) = 0, 12$ P(A ∩ B) = 0,12. Les événements $A$ A et $B$ B sont-ils indépendants ?

Exercice 3 – Capteur de contrôle

$2 %$ 2 % des pièces d'une chaîne sont non conformes ( $N$ N). Un capteur déclenche une alarme ( $A$ A) pour $95 %$ 95 % des pièces non conformes et, par erreur, pour $3 %$ 3 % des pièces conformes. Calculer $P (A)$ P(A), puis la probabilité qu'une pièce ayant déclenché l'alarme soit réellement non conforme.

Exercice 4 – Deux pompes

Une installation possède deux pompes en parallèle, qui tombent en panne de façon indépendante avec la probabilité $0, 1$ 0,1 chacune. Quelle est la probabilité qu'au moins une pompe fonctionne ?

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $P_{M_{2}} (D) = \frac{16}{200} = 0, 08$ P_M₂(D) = 16/200 = 0,08 ; $P_{D} (M_{2}) = \frac{16}{28} \approx 0, 57$ P_D(M₂) = 16/28 ≈ 0,57.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $P (A) \times P (B) = 0, 15 \neq = 0, 12 = P (A \cap B)$ P(A) × P(B) = 0,15 ≠ 0,12 = P(A ∩ B) : $A$ A et $B$ B ne sont pas indépendants.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $P (A) = 0, 02 \times 0, 95 + 0, 98 \times 0, 03 = 0, 019 + 0, 0294 = 0, 0484$ P(A) = 0,02 × 0,95 + 0,98 × 0,03 = 0,019 + 0,029 4 = 0,048 4. Puis $P_{A} (N) = \frac{0 , 019}{0 , 048 4} \approx 0, 39$ P_A(N) = 0,019/(0,048 4) ≈ 0,39 : moins de $40 %$ 40 % des alarmes concernent une pièce vraiment non conforme.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. Les deux pompes sont en panne avec la probabilité $0, 1 \times 0, 1 = 0, 01$ 0,1 × 0,1 = 0,01 (indépendance). Au moins une fonctionne : $1 - 0, 01 = 0, 99$ 1 - 0,01 = 0,99.

Probabilités conditionnelles et indépendance en Première STI2D

Cours et fiche

Leçon

Fiche de révision

S'entraîner

Fiches d'exercices à télécharger (PDF)

Plaquette 1 – Tableaux, arbres pondérés et indépendance

Plaquette 2 – Tableaux croisés et lecture conditionnelle

Plaquette 3 – Arbres pondérés et probabilités totales

Plaquette 4 – Indépendance : tester et exploiter

Plaquette 5 – Fiabilité et diagnostics industriels

Leçon complète