Répétition d'épreuves indépendantes en Première STI2D

Répétition d'épreuves indépendantes en Première STI2D : cours complet

Épreuve de Bernoulli

Définition — Épreuve de Bernoulli. Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$p est une expérience aléatoire à deux issues : le succès $S$S, de probabilité $p$p, et l'échec $\overline{S}$S̅, de probabilité $1-p$1 - p.

Exemple.

• On contrôle une pièce : « défectueuse » (succès, $p=0,1$p = 0,1) ou « conforme ».
• On répond au hasard à une question à trois choix : « bonne réponse » ($p=\frac{1}{3}$p = 1/3) ou non.
• Un panneau solaire produit plus de $3$3 kWh dans la journée ($p=0,7$p = 0,7) ou non.

Le mot « succès » désigne simplement l'issue que l'on étudie, même si c'est un défaut.

Répéter des épreuves indépendantes

Propriété — Arbre et produit. On répète $n$n fois ($n\le 4$n ≤ 4) la même épreuve de Bernoulli, de façon indépendante : le résultat d'une épreuve n'influence pas les autres. Sur l'arbre, chaque nœud porte les mêmes branches $p$p et $1-p$1 - p. Il y a $2^n$2ⁿ chemins, et un chemin comportant $k$k succès et $n-k$n - k échecs a pour probabilité $$p^k(1-p{)}^{n-k}$$p^(k)(1 - p)^(n - k)

Trois épreuves de Bernoulli indépendantes : $8$8 chemins, dont $3$3 avec exactement deux succès.

Méthode — Probabilité de « exactement $k$k succès ». On repère sur l'arbre les chemins qui comportent exactement $k$k succès ; ils ont tous la même probabilité $p^k(1-p{)}^{n-k}$p^(k)(1 - p)^(n - k) ; on multiplie cette probabilité par le nombre de chemins.

Exemple — Contrôle de trois pièces. Une machine produit une pièce défectueuse avec la probabilité $p=0,1$p = 0,1, indépendamment des autres. On contrôle $3$3 pièces.

• Aucune défectueuse : $0,9^3=0,729$0,9³ = 0,729.
• Exactement une : trois chemins ($S\overline{S}\overline{S}$SS̅ S̅, $\overline{S}S\overline{S}$S̅SS̅, $\overline{S}\overline{S}S$S̅ S̅S), d'où $3\times 0,1\times 0,9^2=0,243$3 × 0,1 × 0,9² = 0,243.
• Exactement deux : $3\times 0,1^2\times 0,9=0,027$3 × 0,1² × 0,9 = 0,027 ; les trois : $0,1^3=0,001$0,1³ = 0,001.
• Contrôle : $0,729+0,243+0,027+0,001=1$0,729 + 0,243 + 0,027 + 0,001 = 1.

« Au moins un » : l'événement contraire

Méthode — Passer par le contraire. Le contraire de « au moins un succès » est « aucun succès », de probabilité $(1-p{)}^n$(1 - p)ⁿ : $$P(\text{au moins un succeˋs})=1-(1-p{)}^n$$P( au moins un succès ) = 1 - (1 - p)ⁿ

Exemple. Pour les trois pièces : $P(\text{au moins une deˊfectueuse})=1-0,729=0,271$P( au moins une défectueuse ) = 1 - 0,729 = 0,271.

Exemple — QCM à quatre questions. Un élève répond au hasard aux $4$4 questions d'un QCM ; chaque question a trois réponses dont une seule juste ($p=\frac{1}{3}$p = 1/3).

• Tout juste : ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\frac{1}{81}\approx 0,012$(1/3)⁴ = 1/81 ≈ 0,012.
• Au moins une bonne réponse : $1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^4=1-\frac{16}{81}=\frac{65}{81}\approx 0,80$1 - (2/3)⁴ = 1 - 16/81 = 65/81 ≈ 0,80.
• Exactement deux bonnes réponses : il y a $6$6 chemins ($SS\overline{S}\overline{S}$SSS̅ S̅, $S\overline{S}S\overline{S}$SS̅SS̅, $S\overline{S}\overline{S}S$SS̅ S̅S, $\overline{S}SS\overline{S}$S̅SSS̅, $\overline{S}S\overline{S}S$S̅SS̅S, $\overline{S}\overline{S}SS$S̅ S̅SS), d'où $6\times \frac{1}{9}\times \frac{4}{9}=\frac{24}{81}\approx 0,30$6 × 1/9 × 4/9 = 24/81 ≈ 0,30.

Remarque — Nombre de chemins pour $n=4$n = 4. En listant les $16$16 chemins, on compte $1$1, $4$4, $6$6, $4$4, $1$1 chemins comportant $0$0, $1$1, $2$2, $3$3, $4$4 succès.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Oublier de multiplier par le nombre de chemins : « exactement un succès » n'est pas $p(1-p{)}^{n-1}$p(1 - p)^(n - 1) seul.
• Calculer « au moins un » chemin par chemin au lieu de passer par le contraire.
• Utiliser ce modèle quand les épreuves ne sont pas indépendantes (tirages sans remise dans un petit lot).
• Additionner les probabilités le long d'un chemin au lieu de les multiplier.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Deux épreuves

On répète deux fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $0,6$0,6. Calculer la probabilité d'obtenir deux succès, exactement un succès, aucun succès.

Exercice 2 – Quatre pièces

Une machine produit une pièce défectueuse avec la probabilité $0,2$0,2, indépendamment. On prélève $4$4 pièces. Calculer la probabilité qu'aucune ne soit défectueuse, puis qu'au moins une le soit, puis qu'exactement une le soit.

Exercice 3 – Feux de circulation

Sur un trajet, un automobiliste rencontre trois feux indépendants, chacun vert avec la probabilité $0,5$0,5. Quelle est la probabilité de rencontrer exactement deux feux verts ?

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. Deux succès : $0,6^2=0,36$0,6² = 0,36. Exactement un : $2\times 0,6\times 0,4=0,48$2 × 0,6 × 0,4 = 0,48. Aucun : $0,4^2=0,16$0,4² = 0,16. Total : $1$1.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. Aucune : $0,8^4=0,4096$0,8⁴ = 0,409 6. Au moins une : $1-0,4096=0,5904$1 - 0,409 6 = 0,590 4. Exactement une : $4$4 chemins, $4\times 0,2\times 0,8^3=0,4096$4 × 0,2 × 0,8³ = 0,409 6.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. Trois chemins avec deux verts, chacun de probabilité $0,5^3=0,125$0,5³ = 0,125 : $P=3\times 0,125=0,375$P = 3 × 0,125 = 0,375.