Variables aléatoires en Première STI2D

Variables aléatoires en Première STI2D : cours complet

Variable aléatoire et loi

Définition — Variable aléatoire. Une variable aléatoire $X$X associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire : un nombre de pannes, un coût, un gain… L'événement « $X$X prend la valeur $a$a » se note $\{X=a\}${X = a} ; « $X$X prend une valeur inférieure ou égale à $a$a » se note $\{X\le a\}${X ≤ a}.

Définition — Loi de probabilité. La loi de $X$X donne les valeurs possibles $x_1,\dots ,x_k$x₁, …, xₖ et les probabilités $P(X=x_i)$P(X = xᵢ), dont la somme vaut $1$1.

Exemple — Pannes d'une ligne de production. Le nombre $X$X de pannes d'une ligne au cours d'une semaine suit la loi :

$\{X=0\}${X = 0} : « aucune panne dans la semaine », de probabilité $0,5$0,5. $\{X\le 1\}${X ≤ 1} : « au plus une panne », de probabilité $P(X=0)+P(X=1)=0,8$P(X = 0) + P(X = 1) = 0,8. Au moins deux pannes : $P(X\ge 2)=1-0,8=0,2$P(X ≥ 2) = 1 - 0,8 = 0,2.

Espérance

Définition — Espérance. $$E(X)=x_{1}P(X=x_1)+x_{2}P(X=x_2)+\dots +x_{k}P(X=x_k)$$E(X) = x₁P(X = x₁) + x₂P(X = x₂) + … + xₖP(X = xₖ) C'est la valeur moyenne de $X$X que l'on peut attendre sur un grand nombre de répétitions.

Exemple. Pour les pannes : $E(X)=0\times 0,5+1\times 0,3+2\times 0,15+3\times 0,05=0,75$E(X) = 0 × 0,5 + 1 × 0,3 + 2 × 0,15 + 3 × 0,05 = 0,75 : en moyenne, $0,75$0,75 panne par semaine, soit environ $3$3 pannes par mois de quatre semaines. Si chaque panne coûte $200$200 €, le coût moyen est de $0,75\times 200=150$0,75 × 200 = 150 € par semaine.

Exemple — Un jeu. Une partie coûte $2$2 € ; on gagne $10$10 € avec la probabilité $0,1$0,1, $3$3 € avec la probabilité $0,2$0,2, rien sinon. Le gain net $G$G vaut $8$8, $1$1 ou $-2$-2 : $E(G)=8\times 0,1+1\times 0,2-2\times 0,7=-0,4$E(G) = 8 × 0,1 + 1 × 0,2 - 2 × 0,7 = -0,4. Le joueur perd en moyenne $0,40$0,40 € par partie. Un jeu est équitable quand l'espérance du gain net est nulle.

Loi de Bernoulli

Définition — Loi de Bernoulli de paramètre $p$p. Pour une épreuve à deux issues (succès de probabilité $p$p, échec), la variable $X$X qui vaut $1$1 en cas de succès et $0$0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$p : $$P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,E(X)=p$$P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 - p, E(X) = p

Exemple. Un composant pris au hasard dans la production est conforme avec la probabilité $0,95$0,95 : la variable « $1$1 s'il est conforme, $0$0 sinon » suit la loi de Bernoulli de paramètre $0,95$0,95, d'espérance $0,95$0,95.

Simuler des échantillons

Méthode — Simuler une loi de Bernoulli. random() renvoie un nombre au hasard entre $0$0 et $1$1 : il est inférieur à $p$p avec la probabilité $p$p. Un échantillon de taille $n$n est formé de $n$n tirages indépendants, et l'on calcule la fréquence des 1.

from random import random

def frequence(n, p):
    compteur = 0
    for k in range(n):
        if random() < p:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

freqs = [frequence(100, 0.3) for i in range(500)]

Exemple — 500 échantillons de taille 100, $p=0,3$p = 0,3. Une simulation a donné des fréquences comprises entre $0,15$0,15 et $0,45$0,45, de moyenne $0,299$0,299 et d'écart type $s\approx 0,048$s ≈ 0,048. Parmi elles :

• environ $66\%$66 % sont dans $[p-s;p+s]$[p - s ;p + s] ;
• environ $95\%$95 % dans $[p-2s;p+2s]$[p - 2s ;p + 2s] ;
• la quasi-totalité dans $[p-3s;p+3s]$[p - 3s ;p + 3s].

Une fréquence observée à plus de $2s$2s de $p$p (par exemple $0,42$0,42) est une situation rare dans ce modèle : elle peut faire douter de la valeur $p=0,3$p = 0,3, sans le prouver.

Méthode — Compter les fréquences proches de $p$p.

def proportion(freqs, p, s, k):
    c = 0
    for f in freqs:
        if p - k*s <= f <= p + k*s:
            c = c + 1
    return c / len(freqs)

Propriété — Taille de l'échantillon et dispersion. L'écart type des fréquences observées est de l'ordre de $\frac{1}{\sqrt{n}}$1/( √n ) : il diminue quand la taille $n$n augmente. Pour diviser la dispersion par $k$k, il faut multiplier la taille de l'échantillon par $k^2$k².

Exemple. Dans les simulations ($N=500$N = 500, $p=0,3$p = 0,3) : $s\approx 0,094$s ≈ 0,094 pour $n=25$n = 25, $0,048$0,048 pour $n=100$n = 100, $0,023$0,023 pour $n=400$n = 400. Quand $n$n est multiplié par $4$4, la dispersion est divisée par $2$2 environ.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Oublier de vérifier que la somme des probabilités de la loi vaut $1$1.
• Confondre $\{X\le 1\}${X ≤ 1} et $\{X<1\}${X < 1} (qui ne contient que $X=0$X = 0 ici).
• Oublier la mise dans le calcul d'un gain net.
• Conclure qu'un modèle est faux à partir d'une seule fréquence un peu éloignée de $p$p.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Compléter une loi

$X$X prend les valeurs $0$0, $1$1, $2$2 avec $P(X=0)=0,6$P(X = 0) = 0,6 et $P(X=1)=0,3$P(X = 1) = 0,3. Calculer $P(X=2)$P(X = 2), puis $E(X)$E(X).

Exercice 2 – Garantie

Un appareil vendu $300$300 € avec une extension de garantie de $40$40 € coûte au vendeur, en réparations sous garantie, $0$0 € (probabilité $0,85$0,85), $100$100 € (probabilité $0,1$0,1) ou $400$400 € (probabilité $0,05$0,05). Calculer le coût moyen des réparations et dire si l'extension est rentable pour le vendeur.

Exercice 3 – Reconnaître une loi de Bernoulli

On lance un dé équilibré à six faces et $X$X vaut $1$1 si l'on obtient un multiple de $3$3, $0$0 sinon. Donner la loi de $X$X et son espérance.

Exercice 4 – Taille d'échantillon

Pour $n=100$n = 100, l'écart type des fréquences simulées vaut environ $0,05$0,05. Quelle taille d'échantillon faut-il pour obtenir environ $0,025$0,025 ?

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $P(X=2)=1-0,6-0,3=0,1$P(X = 2) = 1 - 0,6 - 0,3 = 0,1 ; $E(X)=0+0,3+0,2=0,5$E(X) = 0 + 0,3 + 0,2 = 0,5.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $E(C)=0\times 0,85+100\times 0,1+400\times 0,05=30$E(C) = 0 × 0,85 + 100 × 0,1 + 400 × 0,05 = 30 €. L'extension rapporte $40$40 € et coûte en moyenne $30$30 € : elle est rentable pour le vendeur ($10$10 € en moyenne par appareil).

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. Les multiples de $3$3 sont $3$3 et $6$6 : $P(X=1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$P(X = 1) = 2/6 = 1/3, $P(X=0)=\frac{2}{3}$P(X = 0) = 2/3. Loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{3}$1/3, d'espérance $\frac{1}{3}$1/3.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. Diviser la dispersion par $2$2 impose de multiplier la taille par $2^2=4$2² = 4 : $n=400$n = 400.