Suites numériques en Première STI2D

Suites numériques en Première STI2D : cours complet

Suites numériques

Définition — Suite. Une suite associe à chaque entier naturel $n$n un nombre réel noté $u(n)$u(n) ou $u_n$uₙ, le terme de rang $n$n. Elle modélise une grandeur qui évolue par étapes (mois, années, cycles).

Définition — Deux modes de génération.

• Formule explicite : $u_n=f(n)$uₙ = f(n), on calcule directement n'importe quel terme. Exemple : $u_n=3n+2$uₙ = 3n + 2, $u_{10}=32$u₁₀ = 32.
• Relation de récurrence : on donne le premier terme et la façon de passer d'un terme au suivant, $u_{n+1}=f(u_n)$uₙ₊₁ = f(uₙ). Exemple : $u_0=5$u₀ = 5 et $u_{n+1}=2u_n-3$uₙ₊₁ = 2uₙ - 3 : $u_1=7$u₁ = 7, $u_2=11$u₂ = 11, $u_3=19$u₃ = 19.

Définition — Représentation et sens de variation. On représente une suite par le nuage de points $(n;u_n)$(n ;uₙ). La suite est croissante si $u_{n+1}\ge u_n$uₙ₊₁ ≥ uₙ pour tout $n$n, décroissante si $u_{n+1}\le u_n$uₙ₊₁ ≤ uₙ pour tout $n$n : on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$uₙ₊₁ - uₙ.

Suites arithmétiques

Définition — Suite arithmétique. Une suite est arithmétique de raison $r$r si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours $r$r : $$u_{n+1}=u_n+r{u}_n=u_0+nr$$uₙ₊₁ = uₙ + r uₙ = u₀ + nr Elle modélise une évolution absolue constante : croissance (ou décroissance) linéaire. Ses points sont alignés.

Propriété — Sens de variation. $u_{n+1}-u_n=r$uₙ₊₁ - uₙ = r : la suite est croissante si $r>0$r > 0, décroissante si $r<0$r < 0, constante si $r=0$r = 0.

Exemple — Production d'une usine. Une usine produit $500$500 pièces en janvier et $35$35 de plus chaque mois : $u_0=500$u₀ = 500, $r=35$r = 35, $u_n=500+35n$uₙ = 500 + 35n. En décembre ($n=11$n = 11) : $u_{11}=885$u₁₁ = 885 pièces. Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on montre que $u_{n+1}-u_n$uₙ₊₁ - uₙ est constant.

Suites géométriques

Définition — Suite géométrique. Une suite à termes strictement positifs est géométrique de raison $q>0$q > 0 si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par $q$q : $$u_{n+1}=q\times u_n{u}_n=u_0\times q^n$$uₙ₊₁ = q × uₙ uₙ = u₀ × qⁿ Elle modélise une évolution relative constante (même pourcentage) : croissance exponentielle. Une évolution de $t\%$t % par période correspond à $q=1+\frac{t}{100}$q = 1 + t/100.

Propriété — Sens de variation. Pour $u_0>0$u₀ > 0 : la suite est croissante si $q>1$q > 1, décroissante si $0<q<1$0 < q < 1, constante si $q=1$q = 1.

Exemple — Un capital. Un capital de $1200$1 200 € placé à $2\%$2 % par an : $u_0=1200$u₀ = 1 200, $q=1,02$q = 1,02, $u_n=1200\times 1,02^n$uₙ = 1 200 × 1,02ⁿ. $u_1=1224$u₁ = 1 224, $u_2=1248,48$u₂ = 1 248,48 ; au bout de $10$10 ans, $u_{10}\approx 1462,79$u₁₀ ≈ 1 462,79 €. Pour démontrer qu'une suite est géométrique, on montre que $\frac{u_{n+1}}{u_n}$uₙ₊₁/uₙ est constant.

Remarque — Linéaire ou exponentielle. Une croissance linéaire ajoute la même quantité à chaque étape ; une croissance exponentielle multiplie par le même nombre. À long terme, une croissance exponentielle (même lente) dépasse toute croissance linéaire.

Algorithmes

Exemple — Terme de rang $n$n et somme.

def terme(n):
    u = 1000
    for k in range(n):
        u = u * 1.03
    return u

def somme(n):
    u = 1000
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + u
        u = u * 1.03
    return s

somme(10) calcule $u_0+\dots +u_9\approx 11463,88$u₀ + … + u₉ ≈ 11 463,88.

Exemple — Seuil.

def seuil(s):
    n = 0
    u = 1000
    while u < s:
        u = u * 1.03
        n = n + 1
    return n

seuil(1500) renvoie $14$14 : un capital qui augmente de $3\%$3 % par an dépasse $1500$1 500 € au bout de $14$14 ans ($1,03^{14}\times 1000\approx 1512,59$1,03¹⁴ × 1 000 ≈ 1 512,59).

Exemple — Liste des premiers termes. [1000 * 1.03**k for k in range(5)] renvoie la liste des cinq premiers termes, que l'on peut représenter par un nuage de points.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Confondre la raison qu'on ajoute (arithmétique) et celle par laquelle on multiplie (géométrique).
• Décaler les rangs : si $u_0$u₀ est la valeur de janvier, celle de décembre est $u_{11}$u₁₁.
• Utiliser $q=0,03$q = 0,03 au lieu de $q=1,03$q = 1,03 pour une hausse de $3\%$3 %.
• Conclure qu'une suite est arithmétique au vu de deux ou trois termes seulement.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Récurrence

$u_0=2$u₀ = 2 et $u_{n+1}=3u_n-1$uₙ₊₁ = 3uₙ - 1. Calculer $u_1$u₁, $u_2$u₂, $u_3$u₃. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?

Exercice 2 – Abonnés

Un réseau compte $8000$8 000 abonnés et en gagne $450$450 par mois. Exprimer $u_n$uₙ et calculer le nombre d'abonnés au bout de $2$2 ans.

Exercice 3 – Population de bactéries

Une culture de $500$500 bactéries augmente de $20\%$20 % par heure. Exprimer $v_n$vₙ et calculer $v_5$v₅. Est-elle croissante ?

Exercice 4 – Seuil

Avec la suite de l'exercice 3, écrire un programme qui renvoie le nombre d'heures nécessaires pour dépasser $2000$2 000 bactéries, puis donner le résultat.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $u_1=5$u₁ = 5, $u_2=14$u₂ = 14, $u_3=41$u₃ = 41. Différences $3$3, $9$9, $27$27 : pas constantes, non arithmétique. Quotients $2,5$2,5 ; $2,8$2,8 ; $\approx 2,93$≈ 2,93 : non géométrique.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. Suite arithmétique : $u_n=8000+450n$uₙ = 8 000 + 450n. Au bout de $24$24 mois : $u_{24}=8000+10800=18800$u₂₄ = 8 000 + 10 800 = 18 800 abonnés.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. Suite géométrique de raison $1,2$1,2 : $v_n=500\times 1,2^n$vₙ = 500 × 1,2ⁿ ; $v_5=500\times 1,2^5\approx 1244$v₅ = 500 × 1,2⁵ ≈ 1 244 bactéries. $q=1,2>1$q = 1,2 > 1 : croissante.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé.

def seuil():
    n = 0
    v = 500
    while v <= 2000:
        v = v * 1.2
        n = n + 1
    return n

Il renvoie $8$8 : $v_7\approx 1792$v₇ ≈ 1 792 et $v_8\approx 2150$v₈ ≈ 2 150.