Séries statistiques à deux variables en Première STI2D

Séries statistiques à deux variables en Première STI2D : cours complet

Nuage de points et point moyen

Définition — Série à deux variables. On relève deux grandeurs quantitatives $x$x et $y$y sur les mêmes individus : on obtient des couples $(x_i;y_i)$(xᵢ ;yᵢ). Le nuage de points est l'ensemble des points $M_i(x_i;y_i)$Mᵢ(xᵢ ;yᵢ) dans un repère.

Définition — Point moyen. Le point moyen du nuage est $G(\bar{x};\bar{y})$G(bar x ;bar y), où $\bar{x}$bar x et $\bar{y}$bar y sont les moyennes des $x_i$xᵢ et des $y_i$yᵢ.

Exemple — Consommation d'un atelier. Consommation d'électricité (en MWh) d'un atelier sur six années :

$\bar{x}=\frac{21}{6}=3,5$bar x = 21/6 = 3,5 et $\bar{y}=\frac{361}{6}\approx 60,17$bar y = 361/6 ≈ 60,17 : $G(3,5;60,17)$G(3,5 ;60,17).

Le nuage, son point moyen $G$G et la droite des moindres carrés.

Ajustement affine

Définition — Ajustement affine. Quand les points sont presque alignés, on cherche une droite $y=ax+b$y = ax + b qui « résume » le nuage : c'est un ajustement affine. Plusieurs méthodes donnent des droites voisines.

Méthode — Au jugé. On trace à la règle une droite qui passe au plus près des points, en laissant à peu près autant de points de chaque côté ; elle passe en général près de $G$G.

Méthode — Droite de Mayer. On partage le nuage en deux groupes de même effectif (selon $x$x), on calcule les points moyens $G_1$G₁ et $G_2$G₂ de chaque groupe, et l'on trace la droite $(G_1{G}_2)$(G₁G₂). Elle passe par $G$G.

Exemple. $G_1(2;55,33)$G₁(2 ;55,33) (trois premières années) et $G_2(5;65)$G₂(5 ;65) : pente $a=\frac{65-55,33}{5-2}\approx 3,22$a = (65 - 55,33)/(5 - 2) ≈ 3,22, puis $b=55,33-3,22\times 2\approx 48,89$b = 55,33 - 3,22 × 2 ≈ 48,89. Droite de Mayer : $y\approx 3,22x+48,89$y ≈ 3,22x + 48,89.

Méthode — Méthode des moindres carrés. La droite des moindres carrés est celle qui rend minimale la somme $\sum (y_i-(a{x}_i+b){)}^2$Σ (yᵢ - (axᵢ + b))² des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite. La calculatrice (régression linéaire) ou le tableur (DROITEREG, courbe de tendance) en donnent $a$a et $b$b. Elle passe par $G$G.

Exemple. Pour l'atelier, la calculatrice donne $y\approx 3,29x+48,67$y ≈ 3,29x + 48,67.

Interpoler, extrapoler

Définition — Estimer avec l'ajustement. Interpoler, c'est estimer une valeur à l'intérieur de la plage des données ; extrapoler, c'est estimer en dehors (le plus souvent dans le futur).

Exemple — Prévoir la consommation. Pour l'année $8$8 : $y\approx 3,29\times 8+48,67\approx 75$y ≈ 3,29 × 8 + 48,67 ≈ 75 MWh avec les moindres carrés ($74,7$74,7 avec Mayer). Cette prévision suppose que la tendance se poursuit : elle devient d'autant moins fiable qu'on s'éloigne des données.

Attention — Esprit critique. Un ajustement affine n'a de sens que si le nuage est allongé autour d'une droite. Extrapoler très loin (l'année $50$50) donnerait une valeur absurde ; un changement d'équipement de l'atelier rendrait aussi le modèle caduc.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Calculer le point moyen avec les mauvais couples ou oublier une valeur.
• Utiliser un ajustement affine pour un nuage qui n'est pas allongé.
• Extrapoler loin des données sans précaution.
• Confondre $x$x et $y$y dans la calculatrice.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Point moyen

Tension $U$U (V) et intensité $I$I (mA) dans un dipôle : $I$I : $10$10, $20$20, $30$30, $40$40 ; $U$U : $2$2, $4,1$4,1, $5,9$5,9, $8$8. Calculer le point moyen.

Exercice 2 – Utiliser une droite

Un ajustement donne $U=0,2I$U = 0,2I. Estimer $U$U pour $I=25$I = 25 mA, puis $I$I pour $U=7$U = 7 V.

Exercice 3 – Mayer

Avec la série de l'atelier, vérifier que la droite de Mayer passe par $G$G.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $\bar{I}=\frac{100}{4}=25$bar I = 100/4 = 25 mA ; $\bar{U}=\frac{20}{4}=5$bar U = 20/4 = 5 V : $G(25;5)$G(25 ;5).

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $U=0,2\times 25=5$U = 0,2 × 25 = 5 V (interpolation). $0,2I=7⟺I=35$0,2I = 7 ⇔ I = 35 mA.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $3,22\times 3,5+48,89\approx 60,16$3,22 × 3,5 + 48,89 ≈ 60,16, très proche de $\bar{y}\approx 60,17$bar y ≈ 60,17 (l'écart vient des arrondis).