Équations et inéquations du second degré en Seconde

Équations et inéquations du second degré en seconde : cours complet

En seconde, tu découvres les équations du second degré : ce sont des équations de la forme $a{x}^2+bx+c=0$ax² + bx + c = 0. Tu les résous principalement par factorisation ou par identification d'une identité remarquable. La résolution avec le discriminant (formule générale) sera vue en Première spé.

Forme générale

Une équation du second degré s'écrit :

$$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$$ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Cas particulier 1 : $b=0$b = 0, soit $a{x}^2+c=0$ax² + c = 0

Résolution

$$a{x}^2=-c⟺x^2=-\frac{c}{a}$$ax² = -c ⇔ x² = -c/a

• Si $-\frac{c}{a}>0$-c/a > 0 : deux solutions $x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$x = ± √(-c/a).
• Si $-\frac{c}{a}=0$-c/a = 0 : une seule solution $x=0$x = 0.
• Si $-\frac{c}{a}<0$-c/a < 0 : pas de solution réelle.

Exemples

• $x^2-25=0⟺x^2=25⟺x=5\text{ ou }x=-5$x² - 25 = 0 ⇔ x² = 25 ⇔ x = 5 ou x = -5.
• $x^2+9=0⟺x^2=-9⟹$x² + 9 = 0 ⇔ x² = -9 ⇒ pas de solution réelle.
• $3x^2=12⟺x^2=4⟺x=\pm 2$3x² = 12 ⇔ x² = 4 ⇔ x = ± 2.

Cas particulier 2 : $c=0$c = 0, soit $a{x}^2+bx=0$ax² + bx = 0

Résolution

On factorise par $x$x :

$$a{x}^2+bx=x(ax+b)=0$$ax² + bx = x(ax + b) = 0

$$x=0\text{ ou }x=-\frac{b}{a}$$x = 0 ou x = -b/a

Exemple

$$2x^2-6x=0⟺2x(x-3)=0⟺x=0\text{ ou }x=3$$2x² - 6x = 0 ⇔ 2x(x - 3) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 3

Cas général : factorisation par identité remarquable

Si l'équation peut se mettre sous la forme d'une identité remarquable.

Exemple 1 : carré parfait

$$x^2+6x+9=0⟺(x+3{)}^2=0⟺x=-3$$x² + 6x + 9 = 0 ⇔ (x + 3)² = 0 ⇔ x = -3

Exemple 2 : différence de deux carrés

$$x^2-16=0⟺(x-4)(x+4)=0⟺x=\pm 4$$x² - 16 = 0 ⇔ (x - 4)(x + 4) = 0 ⇔ x = ± 4

Méthode générale : factorisation par tâtonnement

Si on connaît une racine évidente $x_0$x₀, alors $(x-x_0)$(x - x₀) est un facteur.

Exemple

Pour $x^2-5x+6=0$x² - 5x + 6 = 0 : on teste $x=2$x = 2 : $4-10+6=0$4 - 10 + 6 = 0 ✓. Donc $(x-2)$(x - 2) est facteur.

On effectue la division :

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

D'où $x=2$x = 2 ou $x=3$x = 3.

Inéquations du second degré

Résolution par factorisation

On factorise l'expression, puis on étudie son signe par tableau.

Exemple

Résoudre $x^2-4x+3\le 0$x² - 4x + 3 ≤ 0 :

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

Tableau de signes :

L'inéquation est vérifiée pour $1\le x\le 3$1 ≤ x ≤ 3.

Position d'une parabole

L'équation $y=a{x}^2+bx+c$y = ax² + bx + c représente une parabole.

• Si $a>0$a > 0 : parabole « tournée vers le haut » (souriante).
• Si $a<0$a < 0 : parabole « tournée vers le bas ».

Les solutions de $a{x}^2+bx+c=0$ax² + bx + c = 0 correspondent aux intersections avec l'axe des abscisses.

Erreurs fréquentes à éviter

• Oublier qu'il y a deux solutions dans une équation comme $x^2=25$x² = 25 : $x=5$x = 5 et $x=-5$x = -5.
• Vouloir extraire la racine d'un nombre négatif : $\sqrt{-9}$√(-9) n'existe pas (en réel).
• Mal factoriser : vérifier en redéveloppant.
• Mauvais sens d'inéquation au tableau de signes.

FAQ — Équations du second degré en seconde

Toutes les équations du second degré ont-elles une solution ?

Non : certaines n'en ont pas (comme $x^2+1=0$x² + 1 = 0), d'autres une seule (cas du carré parfait), d'autres deux.

Comment savoir combien de solutions a-t-on ?

On factorise : si on obtient $(x-a)(x-b)=0$(x - a)(x - b) = 0 avec $a\ne b$a ≠ b, il y a deux solutions. Si on obtient $(x-a{)}^2=0$(x - a)² = 0, une seule. Sinon, on regarde si l'équation se résout.

Pourquoi étudier le second degré au lycée ?

Parce qu'énormément de phénomènes sont modélisés par des paraboles : la trajectoire d'un projectile, la forme d'une antenne parabolique, certains profits en économie…

Quand verrons-nous le discriminant ?

En Première spé maths, on apprendra la formule $\Delta =b^2-4ac$Δ = b² - 4ac qui permet de résoudre toutes les équations du second degré.