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Exercices corrigés : Variables aléatoires — Première STI2D

Besoin de revoir la leçon avant de te lancer ? Cours et fiche de révision : Variables aléatoires

Niveau: Première STI2D
Chapitre: Variables aléatoires
Nombre d'exercices: 20 exercices corrigés
Difficulté: Application directe à type bac

Mis à jour le 11 septembre 2026

Une variable aléatoire, c'est un NOMBRE attaché au résultat d'une expérience : le coût d'une intervention de maintenance, le nombre de pièces défectueuses d'un prélèvement, le gain d'un pari. Donner sa loi, c'est lister ses valeurs possibles avec leurs probabilités ; calculer son espérance, c'est dire vers quelle moyenne on tend quand on répète l'expérience un grand nombre de fois. C'est l'outil de décision par excellence : choisir un contrat de garantie, dimensionner un stock, évaluer un risque. Ces 20 exercices corrigés couvrent la loi de probabilité, l'espérance, la loi de Bernoulli et la fluctuation d'échantillonnage — cette dernière expliquant pourquoi une fréquence observée s'écarte presque toujours de la probabilité théorique. La difficulté est croissante : l'énoncé puis la correction détaillée s'affichent d'un clic.

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Exercice 1 — Reconnaître une variable aléatoire

Application directe

On prélève une pièce dans une production.

On définit $X$ X : le coût de traitement de la pièce, égal à $0$ 0 € si elle est conforme, $4$ 4 € si elle est retouchable et $15$ 15 € si elle est à rebuter.

1.Quelles valeurs peut prendre $X$ X ?
2.Sachant que $90%$ 90% des pièces sont conformes, $7%$ 7% retouchables et $3%$ 3% à rebuter, donne la loi de $X$ X.

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Correction détaillée

1
Une variable aléatoire associe un NOMBRE à chaque issue.
Ici $X$ X prend trois valeurs : $0$ 0, $4$ 4 et $15$ 15.
2
Les probabilités sont données par les proportions : $P (X = 0) = 0, 90$ P(X = 0) = 0,90, $P (X = 4) = 0, 07$ P(X = 4) = 0,07, $P (X = 15) = 0, 03$ P(X = 15) = 0,03.
3
Tableau de la loi : $P (X = 0) = 0, 90$ P(X = 0) = 0,90 · $P (X = 4) = 0, 07$ P(X = 4) = 0,07 · $P (X = 15) = 0, 03$ P(X = 15) = 0,03
4
Contrôle : $0, 90 + 0, 07 + 0, 03 = 1$ 0,90 + 0,07 + 0,03 = 1 ✔ Toute loi de probabilité vérifie cette égalité.
5
Vocabulaire : $X$ X est une variable aléatoire DISCRÈTE, car elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs.

Réponse :

X \in {0; 4; 15}

X ∈ {0 ; 4 ; 15} ·

P (X = 0) = 0, 9

P(X=0) = 0,9,

P (X = 4) = 0, 07

P(X=4) = 0,07,

P (X = 15) = 0, 03

P(X=15) = 0,03.

Rappel de cours : Donner la loi de $X$ X = donner toutes ses valeurs et leurs probabilités, de somme $1$ 1.

Erreur fréquente : Confondre la VALEUR ( $15$ 15 €) et sa PROBABILITÉ ( $0, 03$ 0,03). Le tableau à deux lignes évite cette confusion.

Exercice 2 — Loi de probabilité d'un jeu

Application directe

On lance un dé équilibré à six faces.

Si le résultat est $6$ 6, on gagne $5$ 5 € ; si c'est $4$ 4 ou $5$ 5, on gagne $1$ 1 € ; sinon on ne gagne rien.

On note $G$ G le gain.

1.Donne la loi de probabilité de $G$ G.
2.Calcule $P (G \geq 1)$ P(G ≥ 1).

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Correction détaillée

1
Le dé est équilibré : chaque face a une probabilité $\frac{1}{6}$ 1/6.
2
$G = 5$ G = 5 uniquement pour la face $6$ 6 : $P (G = 5) = \frac{1}{6}$ P(G = 5) = 1/6.
3
$G = 1$ G = 1 pour les faces $4$ 4 et $5$ 5, soit deux faces : $P (G = 1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ P(G = 1) = 2/6 = 1/3.
4
$G = 0$ G = 0 pour les faces $1$ 1, $2$ 2 et $3$ 3, soit trois faces : $P (G = 0) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ P(G = 0) = 3/6 = 1/2.
5
Contrôle : $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1 + 2 + 3}{6} = 1$ 1/6 + 1/3 + 1/2 = (1 + 2 + 3)/6 = 1 ✔.
6
$P (G \geq 1) = P (G = 1) + P (G = 5) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2 + 1}{6} = \frac{1}{2}$ P(G ≥ 1) = P(G = 1) + P(G = 5) = 1/3 + 1/6 = (2 + 1)/6 = 1/2.
7
Autre chemin : $P (G \geq 1) = 1 - P (G = 0) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ P(G ≥ 1) = 1 - P(G = 0) = 1 - 1/2 = 1/2 ✔.

Réponse :

P (G = 0) = \frac{1}{2}

P(G=0) = 1/2,

P (G = 1) = \frac{1}{3}

P(G=1) = 1/3,

P (G = 5) = \frac{1}{6}

P(G=5) = 1/6 ·

P (G \geq 1) = \frac{1}{2}

P(G ≥ 1) = 1/2.

Rappel de cours : On regroupe les issues qui donnent la MÊME valeur : deux faces pour $G = 1$ G = 1, trois pour $G = 0$ G = 0.

Erreur fréquente : Écrire $P (G = 1) = \frac{1}{6}$ P(G = 1) = 1/6 en oubliant qu'il y a DEUX faces gagnantes à $1$ 1 €.

Exercice 3 — Compléter une loi de probabilité

Application directe

Une variable aléatoire $X$ X a la loi suivante, où $a$ a est inconnu :

$P (X = 10) = 0, 45$ P(X = 10) = 0,45 · $P (X = 20) = 0, 30$ P(X = 20) = 0,30 · $P (X = 50) = a$ P(X = 50) = a · $P (X = 100) = 0, 05$ P(X = 100) = 0,05

1.Détermine $a$ a.
2.Calcule $P (X \leq 20)$ P(X ≤ 20) et $P (X > 20)$ P(X > 20).

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Correction détaillée

1
La somme des probabilités d'une loi vaut toujours $1$ 1 : $0, 45 + 0, 30 + a + 0, 05 = 1$ 0,45 + 0,30 + a + 0,05 = 1.
2
$0, 80 + a = 1$ 0,80 + a = 1, donc $a = 0, 20$ a = 0,20.
3
$P (X \leq 20) = P (X = 10) + P (X = 20) = 0, 45 + 0, 30 = 0, 75$ P(X ≤ 20) = P(X = 10) + P(X = 20) = 0,45 + 0,30 = 0,75.
4
$P (X > 20) = P (X = 50) + P (X = 100) = 0, 20 + 0, 05 = 0, 25$ P(X > 20) = P(X = 50) + P(X = 100) = 0,20 + 0,05 = 0,25.
5
Contrôle : $0, 75 + 0, 25 = 1$ 0,75 + 0,25 = 1 ✔ Les évènements ${X \leq 20}$ {X ≤ 20} et ${X > 20}$ {X > 20} sont contraires.
6
Attention à la frontière : $X \leq 20$ X ≤ 20 INCLUT la valeur $20$ 20, tandis que $X > 20$ X > 20 l'exclut.
Une inégalité large et une inégalité stricte ne se répartissent pas au hasard.

Réponse :

a = 0, 20

a = 0,20 ·

P (X \leq 20) = 0, 75

P(X ≤ 20) = 0,75 ·

P (X > 20) = 0, 25

P(X > 20) = 0,25.

Rappel de cours : $\sum P (X = x_{i}) = 1$ Σ P(X = xᵢ) = 1 : c'est ce qui permet de retrouver toute probabilité manquante.

Erreur fréquente : Calculer $a$ a comme une moyenne des autres valeurs. La seule contrainte est que la SOMME fasse $1$ 1.

Exercice 4 — Calculer une espérance

Application directe

On reprend le coût de traitement d'une pièce : $P (X = 0) = 0, 90$ P(X=0) = 0,90, $P (X = 4) = 0, 07$ P(X=4) = 0,07, $P (X = 15) = 0, 03$ P(X=15) = 0,03.

1.Calcule l'espérance $E (X)$ E(X).
2.Interprète ce résultat, et estime le coût de traitement de $10000$ 10 000 pièces.

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Correction détaillée

1
L'espérance est la moyenne des valeurs PONDÉRÉE par leurs probabilités : $E (X) = \sum x_{i} \times P (X = x_{i})$ E(X) = Σ xᵢ × P(X = xᵢ).
2
$E (X) = 0 \times 0, 90 + 4 \times 0, 07 + 15 \times 0, 03$ E(X) = 0 × 0,90 + 4 × 0,07 + 15 × 0,03.
3
$E (X) = 0 + 0, 28 + 0, 45 = 0, 73$ E(X) = 0 + 0,28 + 0,45 = 0,73 €.
4
Interprétation : sur un grand nombre de pièces, le coût de traitement est en moyenne de $0, 73$ 0,73 € par pièce.
Aucune pièce ne coûte jamais $0, 73$ 0,73 € — c'est une moyenne, pas une valeur possible.
5
Sur $10000$ 10 000 pièces : $0, 73 \times 10000 = 7300$ 0,73 × 10 000 = 7 300 €.
6
Contrôle par le détail : $10000$ 10 000 pièces donnent environ $700$ 700 retouches ( $700 \times 4 = 2800$ 700 × 4 = 2 800 €) et $300$ 300 rebuts ( $300 \times 15 = 4500$ 300 × 15 = 4 500 €), soit $7300$ 7 300 € au total ✔.

Réponse :

E (X) = 0, 73

E(X) = 0,73 € par pièce · environ

7300

7 300 € pour

10000

10 000 pièces.

Rappel de cours : $E (X) = x_{1} P_{1} + x_{2} P_{2} + \dots$ E(X) = x₁P₁ + x₂P₂ + … : c'est la moyenne à long terme, pas une valeur atteignable.

Erreur fréquente : Faire la moyenne arithmétique des valeurs : $\frac{0 + 4 + 15}{3} \approx 6, 33$ (0 + 4 + 15)/3 ≈ 6,33 € — huit fois trop. Il faut PONDÉRER par les probabilités.

Exercice 5 — Loi de Bernoulli et son espérance

Application directe

Un test de conformité est réussi avec une probabilité $0, 96$ 0,96.

On note $X$ X la variable qui vaut $1$ 1 si le test est réussi et $0$ 0 sinon.

1.Donne la loi de $X$ X et son nom.
2.Calcule $E (X)$ E(X) et interprète.

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Correction détaillée

1
$X$ X ne prend que deux valeurs, $0$ 0 et $1$ 1 : $P (X = 1) = 0, 96$ P(X = 1) = 0,96 et $P (X = 0) = 0, 04$ P(X = 0) = 0,04.
2
Une variable aléatoire à valeurs dans ${0; 1}$ {0 ; 1} suit une LOI DE BERNOULLI de paramètre $p = 0, 96$ p = 0,96.
3
$E (X) = 0 \times 0, 04 + 1 \times 0, 96 = 0, 96$ E(X) = 0 × 0,04 + 1 × 0,96 = 0,96.
4
Résultat général : pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$ p, $E (X) = p$ E(X) = p.
Le calcul est immédiat puisque seul le terme « $1 \times p$ 1 × p » subsiste.
5
Interprétation : sur un grand nombre de tests, la moyenne des $0$ 0 et des $1$ 1 obtenus vaut $0, 96$ 0,96 — c'est-à-dire la PROPORTION de réussites.
L'espérance d'une loi de Bernoulli est donc une fréquence attendue.

Réponse : Loi de Bernoulli de paramètre

p = 0, 96

p = 0,96 ·

E (X) = p = 0, 96

E(X) = p = 0,96, soit la proportion de tests réussis à long terme.

Rappel de cours : Loi de Bernoulli : $P (X = 1) = p$ P(X=1) = p, $P (X = 0) = 1 - p$ P(X=0) = 1-p, et $E (X) = p$ E(X) = p.

Erreur fréquente : Calculer $E (X) = \frac{0 + 1}{2} = 0, 5$ E(X) = (0+1)/2 = 0,5 : les deux valeurs ne sont pas équiprobables ici.

Exercice 6 — Ce jeu est-il équitable ?

À maîtriser

Une fête d'entreprise propose un jeu : la mise est de $2$ 2 €.

On tire une boule dans une urne contenant $20$ 20 boules dont $2$ 2 rouges et $5$ 5 vertes.

Une boule rouge rapporte $10$ 10 €, une verte $3$ 3 €, les autres ne rapportent rien.

1.Donne la loi du GAIN ALGÉBRIQUE $G$ G (gain reçu moins la mise).
2.Calcule $E (G)$ E(G) et dis si le jeu est équitable.

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Correction détaillée

1
Le gain algébrique tient compte de la mise : rouge $\to 10 - 2 = 8$ → 10 - 2 = 8 € ; verte $\to 3 - 2 = 1$ → 3 - 2 = 1 € ; autre $\to 0 - 2 = - 2$ → 0 - 2 = -2 €.
2
Probabilités : $P (rouge) = \frac{2}{20} = 0, 1$ P( rouge ) = 2/20 = 0,1 ; $P (verte) = \frac{5}{20} = 0, 25$ P( verte ) = 5/20 = 0,25 ; $P (autre) = \frac{13}{20} = 0, 65$ P( autre ) = 13/20 = 0,65.
3
Loi : $P (G = - 2) = 0, 65$ P(G = -2) = 0,65 · $P (G = 1) = 0, 25$ P(G = 1) = 0,25 · $P (G = 8) = 0, 10$ P(G = 8) = 0,10
4
$E (G) = - 2 \times 0, 65 + 1 \times 0, 25 + 8 \times 0, 10$ E(G) = -2 × 0,65 + 1 × 0,25 + 8 × 0,10.
5
$E (G) = - 1, 30 + 0, 25 + 0, 80 = - 0, 25$ E(G) = -1,30 + 0,25 + 0,80 = -0,25 €.
6
Un jeu est équitable si $E (G) = 0$ E(G) = 0.
Ici $E (G) = - 0, 25$ E(G) = -0,25 € : le jeu n'est PAS équitable, il est défavorable au joueur.
7
Interprétation : sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne $25$ 25 centimes par partie, donc l'organisateur gagne $25$ 25 centimes par joueur.
Sur $400$ 400 parties, cela représente $100$ 100 € de recette.

Réponse :

P (G = - 2) = 0, 65

P(G=-2) = 0,65,

P (G = 1) = 0, 25

P(G=1) = 0,25,

P (G = 8) = 0, 10

P(G=8) = 0,10 ·

E (G) = - 0, 25

E(G) = -0,25 € : jeu non équitable, défavorable au joueur.

Rappel de cours : Jeu équitable $⟺ E (G) = 0$ ⇔ E(G) = 0. Le gain ALGÉBRIQUE retranche toujours la mise.

Erreur fréquente : Oublier de soustraire la mise : on trouverait $E = 1, 75$ E = 1,75 € et on conclurait à tort que le jeu est très avantageux.

Exercice 7 — Loi d'une variable définie sur un arbre

À maîtriser

Deux composants indépendants sont testés.

Chacun est défectueux avec une probabilité $0, 2$ 0,2.

On note $X$ X le nombre de composants défectueux.

1.Donne la loi de $X$ X.
2.Calcule $E (X)$ E(X) et commente le résultat.

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Correction détaillée

1
$X$ X peut valoir $0$ 0, $1$ 1 ou $2$ 2.
2
$P (X = 0) = 0, 8 \times 0, 8 = 0, 64$ P(X = 0) = 0,8 × 0,8 = 0,64.
3
$P (X = 1) = 2 \times 0, 2 \times 0, 8 = 0, 32$ P(X = 1) = 2 × 0,2 × 0,8 = 0,32 (deux chemins : le premier composant défectueux, ou le second).
4
$P (X = 2) = 0, 2 \times 0, 2 = 0, 04$ P(X = 2) = 0,2 × 0,2 = 0,04.
5
Contrôle : $0, 64 + 0, 32 + 0, 04 = 1$ 0,64 + 0,32 + 0,04 = 1 ✔.
6
$E (X) = 0 \times 0, 64 + 1 \times 0, 32 + 2 \times 0, 04 = 0, 32 + 0, 08 = 0, 40$ E(X) = 0 × 0,64 + 1 × 0,32 + 2 × 0,04 = 0,32 + 0,08 = 0,40.
7
Commentaire : sur un grand nombre de tests de deux composants, on compte en moyenne $0, 4$ 0,4 composant défectueux par test.
8
Contrôle par une autre route : chaque composant est défectueux avec une probabilité $0, 2$ 0,2, donc pour deux composants on attend $2 \times 0, 2 = 0, 4$ 2 × 0,2 = 0,4 défectueux en moyenne ✔.
L'espérance s'additionne, ce qui donne un contrôle très rapide.

Réponse :

P (X = 0) = 0, 64

P(X=0) = 0,64,

P (X = 1) = 0, 32

P(X=1) = 0,32,

P (X = 2) = 0, 04

P(X=2) = 0,04 ·

E (X) = 0, 4

E(X) = 0,4 composant défectueux en moyenne.

Rappel de cours : Sur $n$ n répétitions indépendantes de paramètre $p$ p, le nombre moyen de succès vaut $n \times p$ n × p.

Erreur fréquente : Annoncer $E (X) = 1$ E(X) = 1 « parce qu'il y a deux composants et trois cas ». L'espérance se calcule, elle ne se devine pas.

Exercice 8 — Décider avec l'espérance

À maîtriser

Un atelier doit choisir entre deux machines.

La machine A ne tombe jamais en panne mais coûte $3000$ 3 000 € par an d'entretien.

La machine B ne coûte que $900$ 900 € d'entretien, mais elle subit chaque année une panne coûtant $12000$ 12 000 € avec une probabilité $0, 15$ 0,15.

1.Donne la loi du coût annuel $C_{B}$ C_B de la machine B.
2.Calcule $E (C_{B})$ E(C_B) et compare avec la machine A.
3.Quelle machine choisir ?

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Correction détaillée

1
Deux cas pour la machine B : pas de panne (coût $900$ 900 €) avec probabilité $0, 85$ 0,85, ou panne (coût $900 + 12000 = 12900$ 900 + 12 000 = 12 900 €) avec probabilité $0, 15$ 0,15.
2
Loi : $P (C_{B} = 900) = 0, 85$ P(C_B = 900) = 0,85 · $P (C_{B} = 12900) = 0, 15$ P(C_B = 12 900) = 0,15
3
$E (C_{B}) = 900 \times 0, 85 + 12900 \times 0, 15 = 765 + 1935 = 2700$ E(C_B) = 900 × 0,85 + 12 900 × 0,15 = 765 + 1 935 = 2 700 €.
4
Machine A : coût certain de $3000$ 3 000 € par an, donc d'espérance $3000$ 3 000 €.
5
Comparaison : $2700 < 3000$ 2 700 < 3 000.
Sur le long terme, la machine B coûte en moyenne $300$ 300 € de moins par an.
6
Choix : la machine B est préférable SI l'atelier peut absorber une facture de $12900$ 12 900 € une année sur six environ.
Sinon, la machine A offre un coût certain, sans risque de trésorerie.
7
C'est la limite de l'espérance comme critère de décision : elle ignore complètement le RISQUE.
Deux coûts de même espérance peuvent être très différents à vivre.

Réponse :

P (C_{B} = 900) = 0, 85

P(C_B=900) = 0,85,

P (C_{B} = 12900) = 0, 15

P(C_B=12 900) = 0,15 ·

E (C_{B}) = 2700

E(C_B) = 2 700 € contre

3000

3 000 € pour A · B est moins chère en moyenne, mais plus risquée.

Rappel de cours : L'espérance compare des coûts à LONG TERME. Elle ne dit rien de la dispersion, donc rien du risque ponctuel.

Erreur fréquente : Oublier d'ajouter l'entretien de $900$ 900 € au coût de la panne : avec $12000$ 12 000 € seulement, on trouverait $2565$ 2 565 €.

Exercice 9 — Probabilités cumulées

À maîtriser

Le nombre $X$ X d'interventions de maintenance par mois sur une ligne suit la loi :

$P (X = 0) = 0, 25$ P(X = 0) = 0,25 · $P (X = 1) = 0, 35$ P(X = 1) = 0,35 · $P (X = 2) = 0, 22$ P(X = 2) = 0,22 · $P (X = 3) = 0, 12$ P(X = 3) = 0,12 · $P (X = 4) = 0, 06$ P(X = 4) = 0,06

1.Calcule $P (X \geq 2)$ P(X ≥ 2) et $P (1 \leq X \leq 3)$ P(1 ≤ X ≤ 3).
2.Calcule $E (X)$ E(X) et interprète.

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Correction détaillée

1
$P (X \geq 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 0, 22 + 0, 12 + 0, 06 = 0, 40$ P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0,22 + 0,12 + 0,06 = 0,40.
2
Contrôle par le contraire : $1 - (0, 25 + 0, 35) = 1 - 0, 60 = 0, 40$ 1 - (0,25 + 0,35) = 1 - 0,60 = 0,40 ✔.
3
$P (1 \leq X \leq 3) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 0, 35 + 0, 22 + 0, 12 = 0, 69$ P(1 ≤ X ≤ 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,35 + 0,22 + 0,12 = 0,69.
4
Espérance : $E (X) = 0 \times 0, 25 + 1 \times 0, 35 + 2 \times 0, 22 + 3 \times 0, 12 + 4 \times 0, 06$ E(X) = 0 × 0,25 + 1 × 0,35 + 2 × 0,22 + 3 × 0,12 + 4 × 0,06.
5
$E (X) = 0 + 0, 35 + 0, 44 + 0, 36 + 0, 24 = 1, 39$ E(X) = 0 + 0,35 + 0,44 + 0,36 + 0,24 = 1,39.
6
Interprétation : la ligne subit en moyenne $1, 39$ 1,39 intervention par mois, soit environ $16, 7$ 16,7 interventions par an ( $1, 39 \times 12$ 1,39 × 12).
7
Usage concret : si chaque intervention coûte $450$ 450 €, le budget annuel à prévoir est $16, 7 \times 450 \approx 7500$ 16,7 × 450 ≈ 7 500 €.

Réponse :

P (X \geq 2) = 0, 40

P(X ≥ 2) = 0,40 ·

P (1 \leq X \leq 3) = 0, 69

P(1 ≤ X ≤ 3) = 0,69 ·

E (X) = 1, 39

E(X) = 1,39 intervention par mois (environ

16, 7

16,7 par an).

Rappel de cours : Un encadrement large $1 \leq X \leq 3$ 1 ≤ X ≤ 3 inclut les DEUX bornes : trois termes à additionner.

Erreur fréquente : Traiter $P (X \geq 2)$ P(X ≥ 2) comme $1 - P (X = 2)$ 1 - P(X = 2). Le contraire de $X \geq 2$ X ≥ 2 est $X \leq 1$ X ≤ 1, donc deux termes à retirer.

Exercice 10 — Espérance d'un coût transformé

À maîtriser

Le nombre $X$ X de pièces défectueuses par lot suit la loi $P (X = 0) = 0, 5$ P(X=0) = 0,5, $P (X = 1) = 0, 3$ P(X=1) = 0,3, $P (X = 2) = 0, 2$ P(X=2) = 0,2.

Le coût de traitement d'un lot, en euros, est $C = 20 + 35 X$ C = 20 + 35X (un forfait plus le coût par pièce défectueuse).

1.Donne la loi de $C$ C.
2.Calcule $E (C)$ E(C) de deux façons.

Voir la correction

Correction détaillée

1
On calcule $C$ C pour chaque valeur de $X$ X : $X = 0 \to C = 20$ X = 0 → C = 20 ; $X = 1 \to C = 55$ X = 1 → C = 55 ; $X = 2 \to C = 90$ X = 2 → C = 90.
2
Les probabilités sont INCHANGÉES, puisque $C$ C est déterminé par $X$ X : $P (C = 20) = 0, 5$ P(C = 20) = 0,5 · $P (C = 55) = 0, 3$ P(C = 55) = 0,3 · $P (C = 90) = 0, 2$ P(C = 90) = 0,2
3
Première méthode, directement sur la loi de $C$ C : $E (C) = 20 \times 0, 5 + 55 \times 0, 3 + 90 \times 0, 2 = 10 + 16, 5 + 18 = 44, 5$ E(C) = 20 × 0,5 + 55 × 0,3 + 90 × 0,2 = 10 + 16,5 + 18 = 44,5 €.
4
Seconde méthode, en passant par $E (X)$ E(X) : $E (X) = 0 \times 0, 5 + 1 \times 0, 3 + 2 \times 0, 2 = 0, 7$ E(X) = 0 × 0,5 + 1 × 0,3 + 2 × 0,2 = 0,7.
5
Le coût moyen s'obtient alors en appliquant la même transformation à l'espérance : $20 + 35 \times 0, 7 = 20 + 24, 5 = 44, 5$ 20 + 35 × 0,7 = 20 + 24,5 = 44,5 € ✔.
6
Les deux méthodes concordent.
La seconde est plus rapide, et elle illustre une propriété utile : pour une transformation AFFINE, $E (20 + 35 X) = 20 + 35 E (X)$ E(20 + 35X) = 20 + 35 E(X).
7
Attention, cette simplification ne vaut que pour les transformations affines.
Elle serait FAUSSE pour $X^{2}$ X² : ici $E (X^{2}) = 0 + 0, 3 + 4 \times 0, 2 = 1, 1$ E(X²) = 0 + 0,3 + 4 × 0,2 = 1,1, alors que $(E (X))^{2} = 0, 49$ (E(X))² = 0,49.

Réponse :

P (C = 20) = 0, 5

P(C=20) = 0,5,

P (C = 55) = 0, 3

P(C=55) = 0,3,

P (C = 90) = 0, 2

P(C=90) = 0,2 ·

E (C) = 44, 5

E(C) = 44,5 € par les deux méthodes.

Rappel de cours : $E (a X + b) = a E (X) + b$ E(aX + b) = a E(X) + b : valable pour toute transformation AFFINE, et seulement pour elle.

Erreur fréquente : Modifier les probabilités en passant de $X$ X à $C$ C. Une transformation change les VALEURS, jamais leurs probabilités.

Exercice 11 — Budget de maintenance prévisionnel

Type contrôle

Sur une machine, le coût annuel de maintenance dépend du niveau d'usure constaté : $1200$ 1 200 € (usure faible, probabilité $0, 55$ 0,55), $3500$ 3 500 € (usure moyenne, probabilité $0, 30$ 0,30), $9000$ 9 000 € (usure forte, probabilité $0, 15$ 0,15).

1.Calcule le coût annuel moyen prévisionnel.
2.L'atelier possède $8$ 8 machines identiques et indépendantes. Quel budget annuel prévoir ?
3.Un contrat forfaitaire « tout compris » est proposé à $3000$ 3 000 € par machine et par an. Est-il intéressant ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Notons $C$ C le coût annuel d'une machine.
$E (C) = 1200 \times 0, 55 + 3500 \times 0, 30 + 9000 \times 0, 15$ E(C) = 1 200 × 0,55 + 3 500 × 0,30 + 9 000 × 0,15.
2
$E (C) = 660 + 1050 + 1350 = 3060$ E(C) = 660 + 1 050 + 1 350 = 3 060 €.
3
Budget pour $8$ 8 machines : les espérances s'additionnent, donc $8 \times 3060 = 24480$ 8 × 3 060 = 24 480 €.
4
Comparaison avec le forfait : $3000$ 3 000 € par machine, soit $24000$ 24 000 € pour $8$ 8 machines.
5
Le forfait coûte $480$ 480 € de moins par an que le coût moyen prévisionnel : il est intéressant sur le plan financier (environ $2%$ 2% d'économie).
6
Argument supplémentaire, non chiffré dans l'énoncé : le forfait supprime le risque de tomber sur plusieurs usures fortes la même année.
Sans forfait, le pire cas serait $8 \times 9000 = 72000$ 8 × 9 000 = 72 000 €, contre un budget attendu de $24480$ 24 480 €.
7
Conclusion nuancée : le forfait est avantageux en espérance ET en maîtrise du risque.
Il resterait à vérifier ce qu'il couvre exactement — une clause d'exclusion changerait le calcul.

Réponse :

E (C) = 3060

E(C) = 3 060 € par machine ·

24480

24 480 € pour

8

8 machines · le forfait à

24000

24 000 € est intéressant (

480

480 € d'économie et risque supprimé).

Rappel de cours : Les espérances s'ADDITIONNENT : pour $n$ n machines identiques, le budget attendu est $n \times E (C)$ n × E(C).

Erreur fréquente : Comparer le forfait de $3000$ 3 000 € au coût le plus probable ( $1200$ 1 200 €, probabilité $0, 55$ 0,55). Le bon point de comparaison est l'espérance, qui intègre les cas coûteux.

Exercice 12 — Déterminer une mise pour un jeu équitable

Type contrôle

Un stand propose de tirer une boule dans une urne de $25$ 25 boules : $1$ 1 boule « or » rapporte $40$ 40 €, $4$ 4 boules « argent » rapportent $10$ 10 €, les autres ne rapportent rien.

La mise $m$ m est à déterminer.

1.Exprime l'espérance du gain algébrique en fonction de $m$ m.
2.Détermine $m$ m pour que le jeu soit équitable.
3.Quelle mise faut-il fixer pour que l'organisateur gagne en moyenne $1$ 1 € par partie ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Probabilités : $P (or) = \frac{1}{25} = 0, 04$ P( or ) = 1/25 = 0,04 ; $P (argent) = \frac{4}{25} = 0, 16$ P( argent ) = 4/25 = 0,16 ; $P (rien) = \frac{20}{25} = 0, 80$ P( rien ) = 20/25 = 0,80.
2
Espérance du gain BRUT : $40 \times 0, 04 + 10 \times 0, 16 + 0 \times 0, 80 = 1, 60 + 1, 60 = 3, 20$ 40 × 0,04 + 10 × 0,16 + 0 × 0,80 = 1,60 + 1,60 = 3,20 €.
3
Gain algébrique : on retire la mise à chaque partie, donc $E (G) = 3, 20 - m$ E(G) = 3,20 - m.
4
Jeu équitable : $E (G) = 0$ E(G) = 0 donne $3, 20 - m = 0$ 3,20 - m = 0, soit $m = 3, 20$ m = 3,20 €.
5
Pour que l'organisateur gagne $1$ 1 € par partie, il faut que le joueur perde $1$ 1 € en moyenne : $E (G) = - 1$ E(G) = -1.
6
$3, 20 - m = - 1$ 3,20 - m = -1, donc $m = 4, 20$ m = 4,20 €.
7
Contrôle : avec $m = 4, 20$ m = 4,20, sur $100$ 100 parties, l'organisateur encaisse $420$ 420 € et reverse en moyenne $320$ 320 €, soit $100$ 100 € de bénéfice ✔, c'est-à-dire $1$ 1 € par partie.

Réponse :

E (G) = 3, 20 - m

E(G) = 3,20 - m · jeu équitable pour

m = 3, 20

m = 3,20 € · mise de

4, 20

4,20 € pour un bénéfice moyen de

1

1 € par partie.

Rappel de cours : L'espérance du gain brut est indépendante de la mise ; la mise ne translate que le gain algébrique.

Erreur fréquente : Chercher $m$ m tel que $E (G) = + 1$ E(G) = +1 pour un organisateur gagnant : $E (G)$ E(G) est le gain du JOUEUR, il doit être négatif.

Exercice 13 — Garantie et espérance de coût

Type contrôle

Un fabricant vend un appareil $240$ 240 €.

Il constate que $6%$ 6% des appareils tombent en panne pendant la garantie : la réparation lui coûte alors $80$ 80 €, et $1%$ 1% doivent être intégralement remplacés, pour un coût de $240$ 240 €.

1.Donne la loi du coût $C$ C du service après-vente pour un appareil.
2.Calcule $E (C)$ E(C).
3.Le fabricant propose une extension de garantie à $15$ 15 € qui doublerait la durée de couverture (et donc, estime-t-il, les taux de panne). Cette extension est-elle rentable pour lui ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Trois cas : aucun incident ( $C = 0$ C = 0) avec probabilité $1 - 0, 06 - 0, 01 = 0, 93$ 1 - 0,06 - 0,01 = 0,93 ; réparation ( $C = 80$ C = 80) avec probabilité $0, 06$ 0,06 ; remplacement ( $C = 240$ C = 240) avec probabilité $0, 01$ 0,01.
2
Loi : $P (C = 0) = 0, 93$ P(C = 0) = 0,93 · $P (C = 80) = 0, 06$ P(C = 80) = 0,06 · $P (C = 240) = 0, 01$ P(C = 240) = 0,01
3
$E (C) = 0 \times 0, 93 + 80 \times 0, 06 + 240 \times 0, 01 = 4, 80 + 2, 40 = 7, 20$ E(C) = 0 × 0,93 + 80 × 0,06 + 240 × 0,01 = 4,80 + 2,40 = 7,20 €.
4
Le service après-vente coûte donc en moyenne $7, 20$ 7,20 € par appareil vendu.
5
Avec l'extension, les taux doublent : $12%$ 12% de réparations et $2%$ 2% de remplacements.
6
Nouveau coût moyen : $80 \times 0, 12 + 240 \times 0, 02 = 9, 60 + 4, 80 = 14, 40$ 80 × 0,12 + 240 × 0,02 = 9,60 + 4,80 = 14,40 €, soit exactement le double (les coûts sont proportionnels aux taux).
7
Surcoût pour le fabricant : $14, 40 - 7, 20 = 7, 20$ 14,40 - 7,20 = 7,20 € par appareil, pour un prix de vente de l'extension de $15$ 15 €.
8
L'extension est donc RENTABLE : elle rapporte $15 - 7, 20 = 7, 80$ 15 - 7,20 = 7,80 € de marge moyenne par appareil couvert.
9
Réserve à formuler : l'hypothèse « les taux doublent » est une estimation.
Si l'usure s'accélère avec le temps, les taux pourraient plus que doubler et la marge fondre — c'est le risque du modèle, pas du calcul.

Réponse :

P (C = 0) = 0, 93

P(C=0) = 0,93,

P (C = 80) = 0, 06

P(C=80) = 0,06,

P (C = 240) = 0, 01

P(C=240) = 0,01 ·

E (C) = 7, 20

E(C) = 7,20 € · extension rentable :

15

15 € encaissés pour

7, 20

7,20 € de surcoût moyen.

Rappel de cours : Le cas « rien ne se passe » fait partie de la loi, avec la valeur $0$ 0 : l'oublier fausse la somme des probabilités.

Erreur fréquente : Prendre $P (C = 0) = 0, 94$ P(C = 0) = 0,94 en oubliant les $1%$ 1% de remplacements. Les probabilités doivent totaliser $1$ 1.

Exercice 14 — Fluctuation d'échantillonnage

Type contrôle

Une production contient $20%$ 20% de pièces de premier choix.

On prélève au hasard des échantillons de $50$ 50 pièces.

Cinq échantillons donnent respectivement $7$ 7, $12$ 12, $9$ 9, $14$ 14 et $11$ 11 pièces de premier choix.

1.Calcule la fréquence de pièces de premier choix dans chaque échantillon.
2.Combien en attendait-on par échantillon ?
3.Ces écarts remettent-ils en cause la proportion annoncée de $20%$ 20% ?

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Correction détaillée

1
Fréquences : $\frac{7}{50} = 0, 14$ 7/50 = 0,14 ; $\frac{12}{50} = 0, 24$ 12/50 = 0,24 ; $\frac{9}{50} = 0, 18$ 9/50 = 0,18 ; $\frac{14}{50} = 0, 28$ 14/50 = 0,28 ; $\frac{11}{50} = 0, 22$ 11/50 = 0,22.
2
Nombre attendu : l'espérance du nombre de pièces de premier choix vaut $50 \times 0, 20 = 10$ 50 × 0,20 = 10 pièces par échantillon.
3
Les cinq résultats observés ( $7$ 7 à $14$ 14) encadrent bien cette valeur de $10$ 10, mais AUCUN ne lui est égal.
4
C'est la FLUCTUATION D'ÉCHANTILLONNAGE : deux échantillons de même taille, prélevés dans la même production, ne donnent pas la même fréquence.
L'écart n'est pas une erreur, c'est le hasard du prélèvement.
5
Moyenne des cinq fréquences : $\frac{0 , 14 + 0 , 24 + 0 , 18 + 0 , 28 + 0 , 22}{5} = \frac{1 , 06}{5} = 0, 212$ (0,14 + 0,24 + 0,18 + 0,28 + 0,22)/5 = 1,06/5 = 0,212, très proche des $0, 20$ 0,20 annoncés.
6
Conclusion : non, ces écarts ne remettent pas en cause la proportion de $20%$ 20%.
Ils sont modérés (de $0, 14$ 0,14 à $0, 28$ 0,28), répartis de part et d'autre de $0, 20$ 0,20, et leur moyenne y revient.
7
À retenir : sur un échantillon de $50$ 50, un écart de quelques pièces est parfaitement normal.
Pour resserrer les fréquences autour de $0, 20$ 0,20, il faut AUGMENTER la taille des échantillons.

Réponse : Fréquences

0, 14

0,14 ;

0, 24

0,24 ;

0, 18

0,18 ;

0, 28

0,28 ;

0, 22

0,22 · on attendait

10

10 pièces (soit

0, 20

0,20) · écarts normaux : c'est la fluctuation d'échantillonnage, la proportion annoncée n'est pas contredite.

Rappel de cours : Une fréquence observée fluctue autour de la probabilité. Plus l'échantillon est GRAND, moins elle fluctue.

Erreur fréquente : Conclure « la production n'est pas à $20%$ 20% » dès qu'un échantillon donne $0, 14$ 0,14. Un seul échantillon ne prouve rien : il faut regarder l'ampleur habituelle des fluctuations.

Exercice 15 — Choisir un niveau de stock

Type contrôle

Un atelier vend des modules dont la demande hebdomadaire $D$ D suit la loi : $P (D = 10) = 0, 2$ P(D = 10) = 0,2, $P (D = 20) = 0, 5$ P(D = 20) = 0,5, $P (D = 30) = 0, 3$ P(D = 30) = 0,3.

Chaque module vendu rapporte $40$ 40 €, chaque module produit mais non vendu coûte $15$ 15 € (stockage et perte).

L'atelier doit choisir de produire $20$ 20 ou $30$ 30 modules.

1.Calcule l'espérance de la demande.
2.Calcule l'espérance de gain si l'atelier produit $20$ 20 modules.
3.Même calcul pour $30$ 30 modules, puis conclus.

Voir la correction

Correction détaillée

1
$E (D) = 10 \times 0, 2 + 20 \times 0, 5 + 30 \times 0, 3 = 2 + 10 + 9 = 21$ E(D) = 10 × 0,2 + 20 × 0,5 + 30 × 0,3 = 2 + 10 + 9 = 21 modules.
2
Production de $20$ 20 modules.
Si $D = 10$ D = 10 : on vend $10$ 10 (gain $400$ 400 €) et il reste $10$ 10 invendus (coût $150$ 150 €), soit $250$ 250 €.
3
Si $D = 20$ D = 20 : on vend les $20$ 20, gain $800$ 800 €, aucun invendu.
4
Si $D = 30$ D = 30 : on ne peut vendre que $20$ 20, gain $800$ 800 € (la demande excédentaire est perdue, sans coût supplémentaire).
5
$E (gain_{20}) = 250 \times 0, 2 + 800 \times 0, 5 + 800 \times 0, 3 = 50 + 400 + 240 = 690$ E( gain ₂₀) = 250 × 0,2 + 800 × 0,5 + 800 × 0,3 = 50 + 400 + 240 = 690 €.
6
Production de $30$ 30 modules.
Si $D = 10$ D = 10 : gain $400$ 400 € et $20$ 20 invendus (coût $300$ 300 €), soit $100$ 100 €.
7
Si $D = 20$ D = 20 : gain $800$ 800 € et $10$ 10 invendus (coût $150$ 150 €), soit $650$ 650 €.
8
Si $D = 30$ D = 30 : on vend tout, gain $1200$ 1 200 €.
9
$E (gain_{30}) = 100 \times 0, 2 + 650 \times 0, 5 + 1200 \times 0, 3 = 20 + 325 + 360 = 705$ E( gain ₃₀) = 100 × 0,2 + 650 × 0,5 + 1 200 × 0,3 = 20 + 325 + 360 = 705 €.
10
Comparaison : $705 > 690$ 705 > 690.
Produire $30$ 30 modules rapporte en moyenne $15$ 15 € de plus par semaine.
11
Nuance : l'écart est faible ( $2%$ 2%) et la stratégie « $30$ 30 modules » est beaucoup plus dispersée — elle peut ne rapporter que $100$ 100 € une semaine sur cinq, contre $250$ 250 € au minimum avec $20$ 20 modules.
Un atelier à trésorerie tendue pourrait préférer la production prudente.
12
Remarque : produire $21$ 21 modules (l'espérance de la demande) n'est PAS automatiquement optimal.
Le bon niveau dépend du rapport entre la marge perdue sur une vente manquée et le coût d'un invendu.

Réponse :

E (D) = 21

E(D) = 21 modules ·

E (gain) = 690

E( gain ) = 690 € pour

20

20 modules,

705

705 € pour

30

30 · produire

30

30 est légèrement meilleur en moyenne, mais plus risqué.

Rappel de cours : On construit d'abord la loi du GAIN (une valeur par scénario de demande), puis on en calcule l'espérance.

Erreur fréquente : Calculer le gain sur $E (D) = 21$ E(D) = 21 modules vendus : l'espérance du gain n'est pas le gain calculé sur la demande moyenne, car les invendus et les ventes manquées ne se compensent pas.

Exercice 16 — Type bac : loi, espérance et décision

Type bac / défi

Un atelier assemble des cartes.

Le temps d'assemblage d'une carte, en minutes, est une variable aléatoire $T$ T de loi :

$P (T = 8) = 0, 40$ P(T = 8) = 0,40 · $P (T = 10) = 0, 35$ P(T = 10) = 0,35 · $P (T = 12) = 0, 20$ P(T = 12) = 0,20 · $P (T = 20) = 0, 05$ P(T = 20) = 0,05

1.Calcule $E (T)$ E(T) et interprète.
2.Calcule $P (T \leq 10)$ P(T ≤ 10) et $P (T \geq 12)$ P(T ≥ 12).
3.Un opérateur travaille $7$ 7 heures par jour. Combien de cartes peut-il assembler en moyenne par jour ?
4.L'atelier doit livrer $200$ 200 cartes en une semaine de $5$ 5 jours. Combien d'opérateurs faut-il prévoir ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
$E (T) = 8 \times 0, 40 + 10 \times 0, 35 + 12 \times 0, 20 + 20 \times 0, 05$ E(T) = 8 × 0,40 + 10 × 0,35 + 12 × 0,20 + 20 × 0,05.
2
$E (T) = 3, 2 + 3, 5 + 2, 4 + 1 = 10, 1$ E(T) = 3,2 + 3,5 + 2,4 + 1 = 10,1 minutes.
3
Interprétation : sur un grand nombre de cartes, l'assemblage prend en moyenne $10, 1$ 10,1 minutes par carte.
4
$P (T \leq 10) = 0, 40 + 0, 35 = 0, 75$ P(T ≤ 10) = 0,40 + 0,35 = 0,75 : trois cartes sur quatre sont assemblées en $10$ 10 minutes ou moins.
5
$P (T \geq 12) = 0, 20 + 0, 05 = 0, 25$ P(T ≥ 12) = 0,20 + 0,05 = 0,25.
6
Cartes par jour : $7$ 7 heures $= 420$ = 420 minutes, donc $\frac{420}{10 , 1} \approx 41, 6$ 420/10,1 ≈ 41,6 cartes.
7
En moyenne, un opérateur assemble donc environ $41, 6$ 41,6 cartes par jour (on ne peut pas arrondir à l'entier ici : c'est une moyenne, et les cartes commencées se poursuivent le lendemain).
8
Sur $5$ 5 jours : $5 \times 41, 6 = 208$ 5 × 41,6 = 208 cartes par opérateur.
9
Comme $208 \geq 200$ 208 ≥ 200, UN seul opérateur suffit en moyenne pour tenir la commande.
10
Réserve importante : $208$ 208 ne dépasse $200$ 200 que de $4%$ 4%.
Or les temps fluctuent — quelques cartes à $20$ 20 minutes de plus que prévu suffisent à passer sous les $200$ 200.
Prudence : on prévoirait une marge (heures supplémentaires ou renfort ponctuel), car l'espérance décrit la moyenne, pas la garantie.

Réponse :

E (T) = 10, 1

E(T) = 10,1 min ·

P (T \leq 10) = 0, 75

P(T ≤ 10) = 0,75 et

P (T \geq 12) = 0, 25

P(T ≥ 12) = 0,25 · environ

41, 6

41,6 cartes par jour ·

208

208 cartes en

5

5 jours : un opérateur suffit tout juste, avec une marge de

4%

4% seulement.

Rappel de cours : Une cadence moyenne se calcule avec le temps MOYEN : $\frac{dur e ˊ e disponible}{E ( T )}$ (durée disponible)/E(T).

Erreur fréquente : Utiliser le temps le plus probable ( $8$ 8 min) au lieu de $E (T)$ E(T) : on annoncerait $52, 5$ 52,5 cartes par jour, soit $26%$ 26% de trop, et la commande serait manquée.

Exercice 17 — Type bac : production avec pannes

Type bac / défi

Une ligne produit $500$ 500 pièces par jour quand tout va bien.

Chaque jour, indépendamment, elle subit une panne courte avec une probabilité $0, 20$ 0,20 (production réduite à $380$ 380 pièces) ou une panne longue avec une probabilité $0, 05$ 0,05 (production réduite à $150$ 150 pièces).

On note $N$ N la production journalière.

1.Donne la loi de $N$ N.
2.Calcule $E (N)$ E(N).
3.Sur $20$ 20 jours ouvrés, quelle production totale prévoir ?
4.Un client demande $9000$ 9 000 pièces en $20$ 20 jours. L'engagement est-il tenable ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Trois cas : $N = 500$ N = 500 avec probabilité $1 - 0, 20 - 0, 05 = 0, 75$ 1 - 0,20 - 0,05 = 0,75 ; $N = 380$ N = 380 avec probabilité $0, 20$ 0,20 ; $N = 150$ N = 150 avec probabilité $0, 05$ 0,05.
2
Loi : $P (N = 150) = 0, 05$ P(N = 150) = 0,05 · $P (N = 380) = 0, 20$ P(N = 380) = 0,20 · $P (N = 500) = 0, 75$ P(N = 500) = 0,75
3
Contrôle : $0, 05 + 0, 20 + 0, 75 = 1$ 0,05 + 0,20 + 0,75 = 1 ✔.
4
$E (N) = 150 \times 0, 05 + 380 \times 0, 20 + 500 \times 0, 75$ E(N) = 150 × 0,05 + 380 × 0,20 + 500 × 0,75.
5
$E (N) = 7, 5 + 76 + 375 = 458, 5$ E(N) = 7,5 + 76 + 375 = 458,5 pièces par jour.
6
Production prévue sur $20$ 20 jours : $20 \times 458, 5 = 9170$ 20 × 458,5 = 9 170 pièces.
7
Comparaison avec l'engagement : $9170 > 9000$ 9 170 > 9 000, l'objectif est atteint EN MOYENNE, avec une marge de $170$ 170 pièces (soit $1, 9%$ 1,9%).
8
Analyse du risque : la marge équivaut à moins d'une demi-journée de production nominale.
Deux pannes longues de plus que prévu ( $2 \times 350 = 700$ 2 × 350 = 700 pièces perdues) suffiraient à manquer l'engagement.
9
Conclusion honnête : l'engagement est tenable en espérance, mais sans réelle sécurité.
On proposerait soit un délai de $21$ 21 jours, soit une clause de tolérance, soit un plan de rattrapage (heures supplémentaires) en cas de panne longue.
10
Remarque sur la perte moyenne : $500 - 458, 5 = 41, 5$ 500 - 458,5 = 41,5 pièces par jour, soit $8, 3%$ 8,3% de la capacité nominale.
C'est le coût des pannes, chiffré — un argument pour investir en maintenance préventive.

Réponse :

P (N = 150) = 0, 05

P(N=150) = 0,05,

P (N = 380) = 0, 20

P(N=380) = 0,20,

P (N = 500) = 0, 75

P(N=500) = 0,75 ·

E (N) = 458, 5

E(N) = 458,5 pièces/jour ·

9170

9 170 pièces sur

20

20 jours · engagement tenable en moyenne, mais avec seulement

1, 9%

1,9% de marge.

Rappel de cours : Production attendue sur $n$ n jours $= n \times E (N)$ = n × E(N), les jours étant indépendants et de même loi.

Erreur fréquente : Calculer $20 \times 500 = 10000$ 20 × 500 = 10 000 et conclure à une marge confortable. La capacité nominale n'est pas la production attendue.

Exercice 18 — Type bac : fluctuation et taille d'échantillon

Type bac / défi

Un lot contient $10%$ 10% de pièces hors tolérance.

On prélève des échantillons et on relève la fréquence $f$ f de pièces hors tolérance.

Sur des échantillons de taille $20$ 20, on observe des fréquences allant de $0$ 0 à $0, 25$ 0,25 ; sur des échantillons de taille $500$ 500, de $0, 076$ 0,076 à $0, 124$ 0,124.

1.Combien de pièces hors tolérance attend-on dans un échantillon de $20$ 20 ? de $500$ 500 ?
2.Interprète les deux plages de fréquences observées.
3.Un échantillon de $20$ 20 pièces contenant $3$ 3 pièces hors tolérance suffit-il à conclure que le lot dépasse $10%$ 10% ?
4.Même question avec $75$ 75 pièces hors tolérance sur un échantillon de $500$ 500.

Voir la correction

Correction détaillée

1
Échantillon de $20$ 20 : on attend $20 \times 0, 10 = 2$ 20 × 0,10 = 2 pièces hors tolérance.
2
Échantillon de $500$ 500 : on attend $500 \times 0, 10 = 50$ 500 × 0,10 = 50 pièces.
3
Les deux plages encadrent $0, 10$ 0,10, mais avec des amplitudes très différentes : $0, 25$ 0,25 d'amplitude pour $n = 20$ n = 20, contre $0, 048$ 0,048 pour $n = 500$ n = 500.
4
Interprétation : la fluctuation d'échantillonnage DIMINUE quand la taille augmente.
Sur $20$ 20 pièces, la fréquence observée est presque inexploitable ; sur $500$ 500, elle cerne la proportion réelle à quelques millièmes près.
5
Troisième question : $3$ 3 pièces sur $20$ 20 donne $f = 0, 15$ f = 0,15.
Or les fréquences observées sur cette taille montent jusqu'à $0, 25$ 0,25 alors que le lot est bien à $10%$ 10%.
6
Donc $0, 15$ 0,15 est parfaitement compatible avec un lot à $10%$ 10% : NON, cet échantillon ne permet pas de conclure.
Il aurait fallu $2$ 2 pièces pour « coller » à la théorie, mais $3$ 3 n'a rien d'anormal (une pièce d'écart !).
7
Quatrième question : $75$ 75 pièces sur $500$ 500 donne $f = \frac{75}{500} = 0, 15$ f = 75/500 = 0,15, la MÊME fréquence.
8
Mais sur cette taille, les fréquences observées ne dépassent pas $0, 124$ 0,124 quand le lot est à $10%$ 10%.
Une fréquence de $0, 15$ 0,15 sort nettement de cette plage.
9
Conclusion : OUI, cet échantillon-là permet de suspecter sérieusement que le lot dépasse $10%$ 10%.
Écart attendu $50$ 50 pièces, observé $75$ 75 : $25$ 25 pièces de trop, ce que la fluctuation n'explique pas à cette taille.
10
Leçon essentielle : la même fréquence $0, 15$ 0,15 est anodine sur $20$ 20 pièces et alarmante sur $500$ 500.
La taille de l'échantillon fait partie de la conclusion.

Réponse :

2

2 pièces attendues sur

20

20,

50

50 sur

500

500 · la fluctuation se resserre quand

n

n grandit ·

3/20 = 0, 15

3/20 = 0,15 ne permet pas de conclure ·

75/500 = 0, 15

75/500 = 0,15 sort de la plage observée : le lot dépasse probablement

10%

10%.

Rappel de cours : Une fréquence ne s'interprète JAMAIS sans sa taille d'échantillon : les fluctuations attendues n'ont pas la même ampleur.

Erreur fréquente : Traiter $0, 15$ 0,15 de la même façon dans les deux cas. La même fréquence porte une information très différente selon $n$ n.

Exercice 19 — Type bac : paramètre inconnu dans une loi

Type bac / défi

Un fournisseur propose un contrat : l'atelier paye $50$ 50 € par livraison, et reçoit une compensation de $300$ 300 € si la livraison est en retard.

La probabilité de retard est $p$ p, inconnue.

On note $G$ G le gain algébrique de l'atelier sur une livraison.

1.Donne la loi de $G$ G en fonction de $p$ p.
2.Exprime $E (G)$ E(G) en fonction de $p$ p.
3.Pour quelle valeur de $p$ p le contrat est-il équilibré pour l'atelier ?
4.Le fournisseur annonce $p = 0, 12$ p = 0,12. Le contrat est-il avantageux pour l'atelier ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Deux cas : livraison à l'heure (probabilité $1 - p$ 1 - p), l'atelier a payé $50$ 50 € sans compensation, donc $G = - 50$ G = -50.
2
Livraison en retard (probabilité $p$ p), l'atelier reçoit $300$ 300 € et a payé $50$ 50 €, donc $G = 250$ G = 250.
3
Loi : $P (G = - 50) = 1 - p$ P(G = -50) = 1 - p · $P (G = 250) = p$ P(G = 250) = p
4
$E (G) = - 50 (1 - p) + 250 p = - 50 + 50 p + 250 p = - 50 + 300 p$ E(G) = -50(1 - p) + 250p = -50 + 50p + 250p = -50 + 300p.
5
Contrat équilibré : $E (G) = 0$ E(G) = 0 donne $300 p = 50$ 300p = 50, soit $p = \frac{50}{300} = \frac{1}{6} \approx 0, 167$ p = 50/300 = 1/6 ≈ 0,167.
6
Le contrat est donc équilibré si les retards surviennent une fois sur six environ.
7
Avec $p = 0, 12$ p = 0,12 : $E (G) = - 50 + 300 \times 0, 12 = - 50 + 36 = - 14$ E(G) = -50 + 300 × 0,12 = -50 + 36 = -14 €.
8
$E (G) = - 14 < 0$ E(G) = -14 < 0 : le contrat est DÉFAVORABLE à l'atelier, qui perd en moyenne $14$ 14 € par livraison.
9
Lecture du signe de $E (G) = - 50 + 300 p$ E(G) = -50 + 300p : cette expression est croissante en $p$ p.
Le contrat devient avantageux dès que $p > \frac{1}{6}$ p > 1/6, c'est-à-dire quand le fournisseur est PEU fiable.
Pour un fournisseur fiable ( $p = 0, 12$ p = 0,12), l'atelier paye une assurance dont il n'a guère besoin.
10
Nuance de gestion : l'atelier peut néanmoins accepter ce contrat s'il craint surtout l'impact d'un retard sur sa propre production (arrêt de chaîne, pénalité client), coût que les $300$ 300 € n'épuisent pas.
L'espérance ne mesure que l'argent du contrat.

Réponse :

P (G = - 50) = 1 - p

P(G=-50) = 1-p,

P (G = 250) = p

P(G=250) = p ·

E (G) = - 50 + 300 p

E(G) = -50 + 300p · équilibré pour

p = \frac{1}{6} \approx 0, 167

p = 1/6 ≈ 0,167 · avec

p = 0, 12

p = 0,12,

E (G) = - 14

E(G) = -14 € : contrat défavorable.

Rappel de cours : Avec un paramètre, l'espérance devient une FONCTION AFFINE de $p$ p : le seuil d'équilibre s'obtient en résolvant $E (G) = 0$ E(G) = 0.

Erreur fréquente : Écrire $G = 300$ G = 300 en cas de retard : il faut retrancher les $50$ 50 € versés, qui sont payés dans TOUS les cas.

Exercice 20 — Type bac : même espérance, risques différents

Type bac / défi

Deux stratégies de maintenance ont été chiffrées pour l'année.

Stratégie A : coût certain de $6000$ 6 000 €.

Stratégie B : coût de $2000$ 2 000 € avec une probabilité $0, 8$ 0,8, et de $22000$ 22 000 € avec une probabilité $0, 2$ 0,2.

1.Calcule l'espérance de coût de chaque stratégie.
2.Donne l'étendue des coûts possibles pour chacune.
3.Quelle stratégie recommander, et pourquoi l'espérance ne suffit-elle pas à décider ?

Voir la correction

Correction détaillée

1
Stratégie A : le coût est certain, donc $E (C_{A}) = 6000$ E(C_A) = 6 000 € (une variable aléatoire constante est égale à son espérance).
2
Stratégie B : $E (C_{B}) = 2000 \times 0, 8 + 22000 \times 0, 2 = 1600 + 4400 = 6000$ E(C_B) = 2 000 × 0,8 + 22 000 × 0,2 = 1 600 + 4 400 = 6 000 €.
3
Les deux stratégies ont EXACTEMENT la même espérance de coût : $6000$ 6 000 €.
4
Étendue : pour A, le coût vaut toujours $6000$ 6 000 € — étendue nulle.
Pour B, il varie de $2000$ 2 000 € à $22000$ 22 000 € — étendue de $20000$ 20 000 €.
5
L'espérance ne permet donc pas de choisir : elle est identique.
C'est la DISPERSION qui distingue les deux stratégies.
6
Recommandation selon la situation : un atelier disposant d'une trésorerie solide peut préférer B — quatre années sur cinq, il ne dépense que $2000$ 2 000 €, et il absorbe l'année coûteuse.
Un atelier à trésorerie fragile doit choisir A : une facture de $22000$ 22 000 € pourrait le mettre en difficulté, même si « en moyenne » cela revient au même.
7
Autre angle : sur $5$ 5 ans, B coûte en général $4 \times 2000 + 22000 = 30000$ 4 × 2 000 + 22 000 = 30 000 €, soit exactement les $5 \times 6000$ 5 × 6 000 € de A.
Sur $1$ 1 an, en revanche, tout dépend du tirage.
8
Conclusion méthodologique : l'espérance est un critère de LONG TERME.
Pour une décision unique et à fort enjeu, il faut y ajouter l'examen des cas extrêmes — c'est précisément le rôle de la variance et de l'écart-type, étudiés plus tard.

Réponse :

E (C_{A}) = E (C_{B}) = 6000

E(C_A) = E(C_B) = 6 000 € · étendue

0

0 pour A,

20000

20 000 € pour B · l'espérance ne départage pas : le choix dépend de la capacité à absorber les

22000

22 000 €.

Rappel de cours : Deux lois peuvent avoir la même espérance et des dispersions très différentes. L'espérance seule ne décrit pas un risque.

Erreur fréquente : Conclure « les deux stratégies sont équivalentes » parce que les espérances sont égales. Elles ne le sont qu'en moyenne sur un grand nombre d'années.

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