Suites arithmétiques et géométriques en Terminale STI2D

Suites arithmétiques et géométriques en Terminale STI2D : cours complet

Suites arithmétiques

Propriété — Rappels. $(u_n)$(uₙ) est arithmétique de raison $r$r si $u_{n+1}=u_n+r$uₙ₊₁ = uₙ + r pour tout $n$n. Alors $u_n=u_0+nr$uₙ = u₀ + nr et, plus généralement, $u_n=u_p+(n-p)r$uₙ = uₚ + (n - p)r. Elle modélise une croissance linéaire (même quantité ajoutée à chaque étape).

Propriété — Moyenne arithmétique. Trois nombres $a$a, $b$b, $c$c sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si $b=\frac{a+c}{2}$b = (a + c)/2 (moyenne arithmétique de $a$a et $c$c). Exemple : $4$4, $10$10, $16$16.

Propriété — Somme de termes consécutifs. $$S=\text{nombre de termes}\times \frac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}1+2+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}.$$S = nombre de termes × (premier terme + dernier terme)/2 1 + 2 + … + n = (n(n + 1))/2.

Exemple — Un loyer. Un loyer annuel de $6000$6 000 € augmente de $150$150 € par an : $u_n=6000+150n$uₙ = 6 000 + 150n ($n=0$n = 0 pour la première année). La dixième année, $u_9=7350$u₉ = 7 350 €. Total payé en $10$10 ans : $10\times \frac{6000+7350}{2}=66750$10 × (6 000 + 7 350)/2 = 66 750 €.

Suites géométriques

Propriété — Rappels. $(u_n)$(uₙ), à termes positifs, est géométrique de raison $q>0$q > 0 si $u_{n+1}=q\times u_n$uₙ₊₁ = q × uₙ. Alors $u_n=u_0\times q^n$uₙ = u₀ × qⁿ et $u_n=u_p\times q^{n-p}$uₙ = uₚ × q^(n-p). Une évolution de $t\%$t % par période donne $q=1+\frac{t}{100}$q = 1 + t/100 : c'est une croissance exponentielle.

Propriété — Moyenne géométrique. Trois nombres positifs $a$a, $b$b, $c$c sont des termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si $b=\sqrt{ac}$b = √(ac) (moyenne géométrique de $a$a et $c$c). Exemple : $4$4, $12$12, $36$36, car $\sqrt{4\times 36}=12$√(4 × 36) = 12.

Propriété — Somme de termes consécutifs. Pour $q\ne 1$q ≠ 1 : $$1+q+q^2+\dots +q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}{u}_0+u_1+\dots +u_{n-1}=u_0\times \frac{1-q^n}{1-q}.$$1 + q + q² + … + qⁿ⁻¹ = (1 - qⁿ)/(1 - q) u₀ + u₁ + … + uₙ₋₁ = u₀ × (1 - qⁿ)/(1 - q).

Exemple — Production d'un panneau solaire. Un panneau produit $400$400 kWh la première année, puis sa production baisse de $0,5\%$0,5 % par an ($q=0,995$q = 0,995). Production totale sur $20$20 ans : $400\times \frac{1-0,995^{20}}{1-0,995}\approx 7631$400 × (1 - 0,995²⁰)/(1 - 0,995) ≈ 7 631 kWh.

Notation $\sum$Σ

Définition — Somme. $\sum _{k=1}^n{u}_k=u_1+u_2+\dots +u_n$Σ_k=1ⁿ uₖ = u₁ + u₂ + … + uₙ ; $k$k est l'indice de sommation.

Exemple. $\sum _{k=1}^5{k}^2=1+4+9+16+25=55$Σ_k=1⁵ k² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 ; \quad $\sum _{k=0}^{9}1,03^k=\frac{1-1,03^{10}}{1-1,03}\approx 11,46$Σ_k=0⁹ 1,03^(k) = (1 - 1,03¹⁰)/(1 - 1,03) ≈ 11,46.

Exemple — Algorithme : somme des premiers carrés.

def somme_carres(n):
    s = 0
    for k in range(1, n + 1):
        s = s + k**2
    return s

somme_carres(10) renvoie $385$385. En remplaçant k**2 par k**3 ou 1/k, on obtient la somme des cubes ou des inverses.

Placements et versements réguliers

Propriété — Intérêts composés. Un capital $C_0$C₀ placé à $t\%$t % par an (intérêts composés) vaut $C_n=C_0\times {\left(1+\frac{t}{100}\right)}^n$Cₙ = C₀ × (1 + t/100)ⁿ au bout de $n$n ans.

Méthode — Valeur acquise avec versements réguliers. On verse $V$V € au début de chaque année pendant $n$n ans, à $t\%$t %. Juste après le dernier versement, le dernier versé vaut $V$V, l'avant-dernier $V\times q$V × q, …, le premier $V\times q^{n-1}$V × qⁿ⁻¹ (avec $q=1+\frac{t}{100}$q = 1 + t/100). La valeur acquise est la somme $$V(1+q+\dots +q^{n-1})=V\times \frac{q^n-1}{q-1}.$$V(1 + q + … + qⁿ⁻¹) = V × (qⁿ - 1)/(q - 1).

Exemple. $1000$1 000 € versés chaque année pendant $10$10 ans à $3\%$3 % : $1000\times \frac{1,03^{10}-1}{0,03}\approx 11463,88$1 000 × (1,03¹⁰ - 1)/0,03 ≈ 11 463,88 €, pour $10000$10 000 € versés.

Méthode — Seuil. On cherche le premier $n$n tel que $u_n$uₙ dépasse une valeur : au tableur, à la calculatrice, avec une boucle while, ou avec le logarithme décimal. Exemple : $5000$5 000 € placés à $4\%$4 % dépassent $8000$8 000 € quand $1,04^n>1,6$1,04ⁿ > 1,6, soit à partir de $n=12$n = 12 ($1,04^{11}\approx 1,54$1,04¹¹ ≈ 1,54 ; $1,04^{12}\approx 1,60$1,04¹² ≈ 1,60).

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Se tromper sur le nombre de termes : de $u_0$u₀ à $u_9$u₉, il y en a $10$10.
• Utiliser la formule de somme géométrique avec $q=1$q = 1.
• Confondre moyenne arithmétique (évolutions absolues) et moyenne géométrique (évolutions relatives).
• Oublier que, dans une valeur acquise, le premier versement a rapporté des intérêts plus longtemps.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Arithmétique

$(u_n)$(uₙ) est arithmétique de premier terme $u_0=7$u₀ = 7 et de raison $-2$-2. Calculer $u_{20}$u₂₀ et $u_0+u_1+\dots +u_{20}$u₀ + u₁ + … + u₂₀.

Exercice 2 – Géométrique

$(v_n)$(vₙ) est géométrique de premier terme $v_0=2$v₀ = 2 et de raison $3$3. Calculer $v_5$v₅ et $v_0+v_1+\dots +v_5$v₀ + v₁ + … + v₅.

Exercice 3 – Reconnaître

Les nombres $5$5, $15$15, $45$45 sont-ils des termes consécutifs d'une suite arithmétique ? géométrique ?

Exercice 4 – Épargne

On verse $200$200 € au début de chaque année pendant $5$5 ans sur un livret à $2\%$2 %. Calculer la valeur acquise juste après le cinquième versement.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $u_{20}=7-40=-33$u₂₀ = 7 - 40 = -33. La somme a $21$21 termes : $21\times \frac{7+(-33)}{2}=21\times (-13)=-273$21 × (7 + (-33))/2 = 21 × (-13) = -273.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. $v_5=2\times 3^5=486$v₅ = 2 × 3⁵ = 486 ; somme $=2\times \frac{1-3^6}{1-3}=2\times \frac{-728}{-2}=728$= 2 × (1 - 3⁶)/(1 - 3) = 2 × (-728)/(-2) = 728.

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $\frac{5+45}{2}=25\ne 15$(5 + 45)/2 = 25 ≠ 15 : pas arithmétique. $\sqrt{5\times 45}=15$√(5 × 45) = 15 : géométrique, de raison $3$3.

Corrigé de l'exercice 4

Corrigé. $200\times \frac{1,02^5-1}{0,02}\approx 1040,81$200 × (1,02⁵ - 1)/0,02 ≈ 1 040,81 €.