Séries statistiques à deux variables en Terminale STI2D

Séries statistiques à deux variables en Terminale STI2D : cours complet

Rappels : ajustement affine

Propriété — Ce que l'on sait.

• Le point moyen d'un nuage $(x_i;y_i)$(xᵢ ;yᵢ) est $G(\bar{x};\bar{y})$G(bar x ;bar y).
• La droite des moindres carrés $y=ax+b$y = ax + b rend minimale la somme $S=\sum (y_i-(a{x}_i+b){)}^2$S = Σ (yᵢ - (axᵢ + b))² ; la calculatrice ou le tableur en donnent $a$a et $b$b, et elle passe par $G$G.
• On l'utilise pour interpoler (dans la plage des données) ou extrapoler (en dehors, avec prudence).

Changement de variable

Méthode — Principe. Quand le nuage $(x_i;y_i)$(xᵢ ;yᵢ) est courbe, on transforme l'une des variables (par exemple $z=\log y$z = log y ou $u=\frac{1}{x}$u = 1/x) ; si le nouveau nuage est allongé autour d'une droite, on l'ajuste par une droite, puis on revient aux variables d'origine.

Exemple — Une croissance exponentielle : $z=\log y$z = log y. Population $y$y (en milliers) d'une culture cellulaire en fonction du temps $t$t (en jours) :

Le nuage $(t_i;z_i)$(tᵢ ;zᵢ) est presque aligné. Les moindres carrés donnent $z\approx 0,176t+0,480$z ≈ 0,176t + 0,480. On revient à $y$y : $$y=10^z\approx 10^{0,480}\times {\left(10^{0,176}\right)}^t\approx 3,02\times 1,50^t.$$y = 10^(z) ≈ 10^(0,480) × (10^(0,176))^(t) ≈ 3,02 × 1,50^(t). La population est multipliée par environ $1,5$1,5 chaque jour. Estimation pour $t=7$t = 7 : $y\approx 51$y ≈ 51 milliers (extrapolation, à prendre avec prudence).

À gauche le nuage courbe ; à droite, après le changement de variable $z=\log y$z = log y, des points alignés.

Exemple — Loi de Boyle-Mariotte : $u=\frac{1}{V}$u = 1/V. Pression $P$P (bar) d'un gaz en fonction de son volume $V$V (L), à température constante :

Les points $(u_i;P_i)$(uᵢ ;Pᵢ) sont alignés : les moindres carrés donnent $P\approx 6,01u+0,02$P ≈ 6,01u + 0,02, soit $P\approx \frac{6}{V}$P ≈ 6/V : le produit $PV$PV est à peu près constant. Pour $V=2,5$V = 2,5 L : $P\approx 2,4$P ≈ 2,4 bar.

Remarque — Quel changement de variable ?. Il est donné par l'énoncé ou suggéré par la physique de la situation : $\log y$log y pour une évolution relative constante, $\frac{1}{x}$1/x pour une grandeur inversement proportionnelle, $x^2$x² pour une énergie ou une distance de freinage, $\frac{1}{\sqrt{n}}$1/( √n ) pour une dispersion d'échantillons…

Algorithmes

Méthode — Calculer la somme des carrés des écarts.

def S(a, b, X, Y):
    s = 0
    for i in range(len(X)):
        s = s + (Y[i] - (a * X[i] + b))**2
    return s

Méthode — Chercher un bon couple par balayage.

def balayage(X, Y):
    meilleur = (0, 0, S(0, 0, X, Y))
    for i in range(0, 101):          # a de 0 à 10 par pas de 0,1
        for j in range(-100, 101):   # b de -10 à 10 par pas de 0,1
            a, b = i / 10, j / 10
            s = S(a, b, X, Y)
            if s < meilleur[2]:
                meilleur = (a, b, s)
    return meilleur

Le couple trouvé est proche de celui des moindres carrés, à la précision du pas près.

Erreurs classiques

Attention — À éviter.

• Ajuster par une droite un nuage manifestement courbe.
• Oublier de revenir aux variables d'origine après le changement de variable.
• Écrire $10^{at+b}=10^{at}+10^b$10^(at + b) = 10^(at) + 10^(b) au lieu de $10^b\times (10^a{)}^t$10^(b) × (10^(a))^(t).
• Extrapoler loin des données comme si le modèle restait valable.

Fiche de synthèse

Exercices d'application

Exercice 1 – Revenir à la variable

Après le changement de variable $z=\log y$z = log y, on obtient l'ajustement $z=0,1t+2$z = 0,1t + 2. Exprimer $y$y en fonction de $t$t et calculer $y$y pour $t=3$t = 3.

Exercice 2 – Distance de freinage

Pour des vitesses $v$v (en km/h) et des distances de freinage $d$d (en m), on pose $u=v^2$u = v² et l'on obtient l'ajustement $d\approx 0,006u$d ≈ 0,006 u. Estimer la distance de freinage à $90$90 km/h, puis à $130$130 km/h.

Exercice 3 – Inverse

On pose $u=\frac{1}{x}$u = 1/x et l'on obtient $y=12u+1$y = 12u + 1. Exprimer $y$y en fonction de $x$x et calculer $y$y pour $x=4$x = 4.

Corrigés des exercices

Corrigé de l'exercice 1

Corrigé. $y=10^{0,1t+2}=100\times {\left(10^{0,1}\right)}^t\approx 100\times 1,259^t$y = 10^(0,1t + 2) = 100 × (10^(0,1))^(t) ≈ 100 × 1,259^(t). Pour $t=3$t = 3 : $y=10^{2,3}\approx 199,5$y = 10^(2,3) ≈ 199,5.

Corrigé de l'exercice 2

Corrigé. À $90$90 km/h : $d\approx 0,006\times 8100=48,6$d ≈ 0,006 × 8 100 = 48,6 m. À $130$130 km/h : $d\approx 0,006\times 16900=101,4$d ≈ 0,006 × 16 900 = 101,4 m (plus du double).

Corrigé de l'exercice 3

Corrigé. $y=\frac{12}{x}+1$y = 12/x + 1 ; pour $x=4$x = 4 : $y=3+1=4$y = 3 + 1 = 4.